Question

（18分）近代的材料生長和微加工技術(shù)，可制造出一種使電子的運動限制在半導(dǎo)體的一個平面內(nèi)（二維）的微結(jié)構(gòu)器件，且可做到電子在器件中像子彈一樣飛行，不受雜質(zhì)原子射散的影響，這種特點可望有新的應(yīng)用價值。圖l 所示為四端十字形。二維電子氣半導(dǎo)體，當電流從l端進人時，通過控制磁場的作用，可使電流從 2，3或4端流出。對下面摸擬結(jié)構(gòu)的研究，有助于理解電流在上述四端十字形導(dǎo)體中的流動。在圖 2 中， a、b、c、d為四根半徑都為R的圓柱體的橫截面，彼此靠得很近，形成四個寬度極窄的狹縫1、2、3、4，在這些狹縫和四個圓柱所包圍的空間（設(shè)為真空）存在勻強磁場，磁場方向垂直于紙面指向紙里。以B表示磁感應(yīng)強度的大小。一個質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，在紙面內(nèi)以速度v₀沿與a、b都相切的方向由縫1射人磁場內(nèi)，設(shè)粒子與圓柱表面只發(fā)生一次碰撞，碰撞是彈性的，碰撞時間極短，且碰撞不改變粒子的電荷量，也不受摩擦力作用。試求B為何值時，該粒子能從縫2處且沿與b、c都相切的方向射出。

   

Answer 1

解析：

解法一高.考.資.源.網(wǎng)

在圖中紙面內(nèi)取Oxy坐標（如圖），原點在狹縫l處，x軸過縫1和縫3。粒子從縫1進入磁場，在洛侖茲力作用下作圓周運動，圓軌道在原點與x軸相切，故其圓心必在y軸上．若以r表示此圓的半徑，則圓方程為

            x²+(y－r)²=r²                   （1）

根據(jù)題的要求和對稱性可知，粒子在磁場中作圓周運動時應(yīng)與d的柱面相碰于縫3、4間的圓弧中點處，碰撞處的坐標為

             x=2R－Rsin45⁰                （2）

             y=R－R cos45⁰                （3）

由（l）、（2）、（3）式得   r=3R          （4）

由洛侖茲力和牛頓定律有        （5）

由（4）、（5）式得               （6）

評分標準：本題 18 分。

（1）、（2）、（3）式各4分，（4）、（5）、（6）式各2分。

解法二

如圖所示，A為a、b兩圓圓心的連線與縫l的交點，F(xiàn)為c、d兩圓圓心的連線與縫3的交點．從1縫中射人的粒子在磁場作用下與圓柱d的表面發(fā)生彈性碰撞后，反彈進人縫2，這個過程一定對連結(jié)b、d 兩圓圓心的直線OP對稱，故直線OP與d圓的交點C必是碰度點。由于粒子在磁場中做圓運動過A點，因此這個軌道的圓心必在過A點并垂直于AF的直線AE上；同時這個軌道經(jīng)過C點，所以軌道的圓心也一定在AC的垂直平分線DE上。這樣AE與DE的交點E就是軌道的圓心，AE就是軌道的半徑r。過C點作AF的垂線與AF交于H點，則

              高.考.資.源.網(wǎng)

有                                         （1）

由圖可知

                                       （2）高.考.資.源.網(wǎng)

                                      （3）

                                    （4）

                                           （5）

由以上各式得  r=3R                                    （6）

由洛侖茲力和牛頓定律有                    （7）

得到                                          （8）

評分標準：本題 18 分。

（1）式8分，（2）、（3）（4）、（5）式各1分，（6）、（7）、（8）式各1分。