Question

【題目】如圖所示，MN和M′N′為兩豎直放置的平行光滑長(zhǎng)直金屬導(dǎo)軌，兩導(dǎo)軌間的距離為L。在導(dǎo)軌的下部有垂直于導(dǎo)軌所在平面、方向向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。在導(dǎo)軌的MM′端連接電容為C、擊穿電壓為Ub、正對(duì)面積為S、極板間可認(rèn)為是真空、極板間距為d的平行板電容器。在t＝0時(shí)無(wú)初速度地釋放金屬棒ef，金屬棒ef的長(zhǎng)度為L、質(zhì)量為m、電阻可忽略不計(jì)．假設(shè)導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，磁場(chǎng)區(qū)域足夠大，金屬棒ef與導(dǎo)軌垂直并接觸良好，導(dǎo)軌和各接觸處的電阻不計(jì)，電路的電感、空氣的阻力可忽略，已知重力加速度為g。

(1)求電容器兩端的電壓達(dá)到擊穿電壓所用的時(shí)間；

(2)金屬棒ef下落的過(guò)程中，速度逐漸變大，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)逐漸變大，電容器極板上的電荷量逐漸增加，兩極板間存儲(chǔ)的電場(chǎng)能也逐漸增加。單位體積內(nèi)所包含的電場(chǎng)能稱為電場(chǎng)的能量密度。已知兩極板間為真空時(shí)平行板電容器的電容大小可表示為C＝。試證明平行板電容器兩極板間的空間內(nèi)的電場(chǎng)能量密度ω與電場(chǎng)強(qiáng)度E的平方成正比，并求出比例系數(shù)(結(jié)果用ε0和數(shù)字的組合表示)。

Answer 1

【答案】(1) (2)ε0，證明見(jiàn)解析

【解析】

本題為“單棒＋電容器＋導(dǎo)軌模型”，可以根據(jù)牛頓第二定律，使用“微元法”對(duì)棒列方程求解。

（1）在電容器兩端電壓達(dá)到擊穿電壓前，設(shè)任意時(shí)刻t，流過(guò)金屬棒的電流為i，由牛頓第二定律知，此時(shí)金屬棒的加速度a滿足

mg－BiL＝ma

設(shè)在t到t＋Δt的時(shí)間內(nèi)，金屬棒的速度由v變?yōu)?/span>v＋Δv，電容器兩端的電壓由U變?yōu)?/span>U＋ΔU，電容器的帶電荷量由Q變?yōu)?/span>Q＋ΔQ，由電流的定義、電荷量與電壓和電容間的關(guān)系、電磁感應(yīng)定律以及加速度的定義得

聯(lián)立得

可知金屬棒做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)電容器兩端電壓達(dá)到擊穿電壓時(shí)，金屬棒的速度為

v0＝

所以電容器兩端電壓達(dá)到擊穿電壓所用的時(shí)間為

。

（2）當(dāng)電容器兩極板間的電荷量增加無(wú)窮小量ΔQi時(shí)，電容器兩端的電壓可認(rèn)為始終為Ui，增加的電場(chǎng)能可用圖甲中左起第1個(gè)陰影部分的面積表示；同理，當(dāng)電容器兩極板間的電荷量增加無(wú)窮小量ΔQi＋1時(shí)，電容器兩端的電壓可認(rèn)為始終為Ui＋1，增加的電場(chǎng)能可用圖甲中左起第2個(gè)陰影部分的面積表示；依次類推可知，當(dāng)電容器的帶電荷量為Q′、兩端電壓為U′時(shí)，圖乙中陰影部分的面積表示兩極板間電場(chǎng)能的大小W′，所以

W′＝U′Q′

根據(jù)題意有

ω＝

又

Q′＝U′C，U′＝Ed，C＝

聯(lián)立解得

ω＝ε0E2

所以電場(chǎng)能量密度ω與電場(chǎng)強(qiáng)度E的平方成正比，且比例系數(shù)為ε0。