Question

4．如圖所示，用長為l的輕質(zhì)細(xì)線將質(zhì)量為m的小球懸掛于O點，細(xì)線能承受的最大拉力大小為7mg．小球在外力作用下靜止于A處，此時細(xì)線偏離豎直方向的夾角為60°．撤去外力，讓小球由靜止釋放，擺到最低點B時，細(xì)線被O點正下方的光滑小釘子擋住，釘子離O點的距離滿足一定條件時，小球能繼續(xù)運動且細(xì)線不松弛．不計空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）小球靜止于A處時所受最小外力；
（2）小球運動過程中離A處位移的范圍；
（3）釘子離O點距離應(yīng)該滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)外力與繩子方向垂直斜向上時，外力最小，根據(jù)共點力平衡求出最小外力．
（2）根據(jù)小球擺動的情況分析離A處位移的最大值，從而得出位移的范圍．
（3）分析釘子離O點的距離需滿足的情況：1、不越過四分之一圓周，2、越過圓周的最高點，3、在最低點拉力不超過7mg，根據(jù)牛頓第二定律、機(jī)械能守恒綜合求解．

解答 解：（1）當(dāng)外力與繩垂直斜向上時，外力最小，
由共點力平衡可得，F(xiàn)=mgsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}mg$．
（2）釘子和O點重合時，當(dāng)小球運動到左側(cè)最高點時，位移最大，根據(jù)機(jī)械能守恒條件可知，小球運動到左側(cè)最高點和初始位置等高，
根據(jù)幾何關(guān)系知，小球運動過程中的最大位移${x}_{m}=2×l×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}l$，
所以$0≤x≤\sqrt{3}l$．
（3）①當(dāng)釘子與A點等高時，小球運動到最高點的速度為零，
${h}_{1}=\frac{l}{2}$，
②小球運動到最低點繩子恰好不斷裂，設(shè)此時小球運動半徑為r₁，
根據(jù)牛頓第二定律得，$7mg-mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$，
由機(jī)械能守恒定律得，mgl（1-cos60°）=$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
解得${r}_{1}=\frac{1}{6}l$，釘子距離O點的距離${l}_{1}=l-\frac{1}{6}l=\frac{5}{6}l$．
③小球繞過釘子又能運動到圓周的最高點，設(shè)此時小球運動的半徑為r₂，
由機(jī)械能守恒定律可得，$mg\frac{l}{2}-mg•2{r}_{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$，
由牛頓第二定律得，$mg=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{r}_{2}}$，
代入數(shù)據(jù)解得${r}_{2}=\frac{l}{5}$，釘子距離O點的距離${l}_{2}=l-\frac{l}{5}=\frac{4}{5}l$，
所以釘子離O點的距離h滿足的條件$h＜\frac{l}{2}$，$\frac{4}{5}l≤h≤\frac{5l}{6}$．
答：（1）小球靜止于A處時所受最小外力為$\frac{\sqrt{3}}{2}mg$．
（2）小球運動過程中離A處位移的范圍為$0≤x≤\sqrt{3}l$．
（3）釘子離O點距離應(yīng)該滿足的條件為$h＜\frac{l}{2}$或$\frac{4}{5}l≤h≤\frac{5l}{6}$．

點評 本題綜合考查了共點力平衡、牛頓第二定律、機(jī)械能守恒的綜合運用，對于第三問，關(guān)鍵抓住臨界情況，結(jié)合牛頓第二定律和機(jī)械能守恒進(jìn)行求解，有一定的難度．