Question

12．如圖所示，M₁N₁N₂M₂是位于光滑水平桌面上的剛性U型金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌中接有阻值為R的電阻，它們的質(zhì)量為m，導(dǎo)軌的兩條軌道間的距離為l，PQ是質(zhì)量也為m的金屬桿，可在軌道上滑動(dòng)，滑動(dòng)時(shí)保持與軌道垂直，桿與軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，桿與導(dǎo)軌的電阻均不計(jì)．桿PQ位于圖中的虛線處，虛線的右側(cè)為一勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直于桌面，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B．已知導(dǎo)軌的N₁N₂部分離圖中虛線的距離為S=$\frac{v_0^2}{μg}$．現(xiàn)有一位于導(dǎo)軌平面內(nèi)的與軌道平行的外力作用于PQ上，使之在軌道上以v₀的速度向右作勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)經(jīng)過t時(shí)間導(dǎo)軌的N₁N₂部分運(yùn)動(dòng)到圖中的虛線部分；在導(dǎo)軌的N₁N₂部分運(yùn)動(dòng)到圖中的虛線部分的過程中，外力所做的功為W，則有（　　）

• A． t=$\frac{v_0}{μg}$
• B． t=$\frac{{3{v_0}}}{2μg}$
• C． W=mv₀²+$\frac{{3{B^2}{l^2}v_0^3}}{2μgR}$
• D． W=mv₀²+$\frac{{3{B^2}{l^2}v_0^3}}{μgR}$

Answer 1

分析 當(dāng)金屬桿在外力F的作用下勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于導(dǎo)軌受到PQ的摩擦力而向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，而題目要求導(dǎo)軌加速運(yùn)動(dòng)一段距離S時(shí)的時(shí)間以及外力做功的問題．這個(gè)連接體涉及到電磁感應(yīng)且兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不同，所以用隔離法是不可避免的．分別把兩個(gè)物體進(jìn)行受力分析，運(yùn)用動(dòng)力學(xué)內(nèi)容從已知情況入手解決問題．至于外力做的功可以由功能關(guān)系或功的公式直接求解．

解答 解：對(duì)導(dǎo)軌，受到PQ對(duì)其摩擦力μmg，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求其加速度$a=\frac{μmg}{m}=μg$．當(dāng)其加速到速度v₀的位移$x=\frac{{v}_{0}2}{2a}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2μg}$$＜S=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{μg}$，說明導(dǎo)軌還未到虛線處已經(jīng)與PQ共同以v₀速度運(yùn)動(dòng)，一起勻速到虛線處，導(dǎo)軌加速時(shí)間${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{a}=\frac{{v}_{0}}{μg}$  一起勻速的時(shí)間：${t}_{2}=\frac{S-x}{{v}_{0}}=\frac{\frac{{{v}_{0}}^{2}}{μg}-\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2μg}}{{v}_{0}}=\frac{{v}_{0}}{2μg}$，所以到達(dá)虛線處的總時(shí)間$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{3{v}_{0}}{2μg}$，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確． 
另外PQ切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E=Blv，電阻R中的電流$I=\frac{E}{R}=\frac{Bl{v}_{0}}{R}$，在這段時(shí)間t內(nèi)產(chǎn)生的焦耳${Q}_{1}={I}^{2}Rt=（\frac{Bl{v}_{0}}{R}）^{2}×R×\frac{3{v}_{0}}{2μg}$=$\frac{3{B}^{2}{l}^{2}{{v}_{0}}^{3}}{2μgR}$，又因?yàn)樵谶@段時(shí)間內(nèi)PQ在導(dǎo)軌上滑動(dòng)的距離：${x}_{2}={v}_{0}t={v}_{0}\frac{3{v}_{0}}{2μg}$=$\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{2μg}$，導(dǎo)軌滑動(dòng)的距離：${x}_{1}=x+{v}_{0}{t}_{2}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2μg}+{v}_{0}\frac{{v}_{0}}{2μg}$=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{μg}$，所以由于摩擦產(chǎn)生的熱量：${Q}_{2}=μmg（{x}_{2}-{x}_{1}）=μmg×（\frac{{{3v}_{0}}^{2}}{2μg}-\frac{{{v}_{0}}^{2}}{μg}）$=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，由功能關(guān)系外力做的功為W=△E_k+Q₁+Q₂=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$+$\frac{3{B}^{2}{l}^{2}{{v}_{0}}^{3}}{2μgR}$+$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$=$m{{v}_{0}}^{2}$+$\frac{3{B}^{2}{l}^{2}{{v}_{0}}^{3}}{2μgR}$，所以選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：BC

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)在于：一是要把導(dǎo)軌的運(yùn)動(dòng)過程弄清楚，在S=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{μg}$的距離內(nèi)導(dǎo)軌先加速后勻速是本題設(shè)下的陷阱，先要通過求它的加速位移，才能知道導(dǎo)軌怎樣運(yùn)動(dòng)及最后的速度．二是求外力做的功由功能關(guān)系來做，但要分段進(jìn)行，且獲得的是三種能量：導(dǎo)軌的動(dòng)能、摩擦產(chǎn)生的熱、克服安培力產(chǎn)生的焦耳熱．