Question

3．一段凹槽A倒扣在水平長木板C上，槽內有一小物塊B，它到槽兩內側的距離均為$\frac{L}{2}$，如圖所示．木板位于光滑水平的桌面上，槽與木板間的摩擦不計，小物塊與木板間的摩擦系數為μ．A、B、C三者質量相等，原來都靜止，現使槽A以大小為v₀的初速向右運動，已知v₀＜$\sqrt{2μgL}$．當A和B發(fā)生碰撞時，兩者速度互換．求：
（1）從A、B發(fā)生第一次碰撞到第二次碰撞的時間內，木板C運動的路程是L-$\frac{{v}_{0}^{2}}{4μg}$；
（2）在A、B剛要發(fā)生第四次碰撞時，B速度的大小是$\frac{3}{8}$v₀．

Answer 1

分析 （1）A、B碰撞過程動量守恒，A、B第一次碰撞后，A靜止，B向右做勻減速運動，C向右做勻加速運動，由動量守恒定律與能量守恒定律可以求出C的路程．
（2）根據物體的運動過程，應用動量守恒定律求出B的速度．

解答 解：（1）A與B剛發(fā)生第一次碰撞后，A停下不動，B以初速V₀向右運動．
由于摩擦，B向右作勻減速運動，而C向右作勻加速運動，兩者速率逐漸接近．
設B、C達到相同速度V₁時B移動的路程為S₁．設A、B、C質量皆為m，以向右為正方向，
由動量守恒定律得：mv₀=2mv₁…①
由能量守恒定律得：μmgS₁=$\frac{1}{2}$•2mv₀²-$\frac{1}{2}$mv₁²…②
由①②解得：S₁=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{8μg}$
由題意知：v₀＜$\sqrt{2μgL}$
解得：S₁＜$\frac{3}{4}$L…③
可見，在B、C達到相同速度v₁時，B尚未與A發(fā)生第二次碰撞，B與C一起將以v₁向右勻速運動一段距離（L-S₁）后才與A發(fā)生第二次碰撞．
設C的速度從零變到v₁的過程中，C的路程為S₂．
由能量守恒定律得：μmgS₂=$\frac{1}{2}$mv₁²…④
解得：S₂=$\frac{{v}_{0}^{2}}{8μg}$
因此在第一次到第二次碰撞間C的路程為：S=S₂+L-S₁=L-$\frac{{v}_{0}^{2}}{4μg}$…⑤；
（2）由上面討論可知，在剛要發(fā)生第二次碰撞時，A靜止，B、C的速度均為v₁．
剛碰撞后，B靜止，A、C的速度均為V₁．由于摩擦，B將加速，C將減速，直至達到相同速度v₂．
以向右為正方向，由動量守恒定律得：mv₁=2mv₂…⑥
解得：v₂=$\frac{1}{2}$v₁=$\frac{1}{4}$v₀
因A的速度v₁大于B的速度v₂，故第三次碰撞發(fā)生在A的左壁．
剛碰撞后，A的速度變?yōu)閂₂，B的速度變?yōu)閂₁，C的速度仍為V₂．
由于摩擦，B減速，C加速，直至達到相同速度v₃．以A的速度方向為正方向，
由動量守恒定律得：mv₁+mv₂=2mv₃…⑦
解得：v₃=$\frac{3}{8}$v₀
故剛要發(fā)生第四次碰撞時，A、B、C的速度分別為：v_A=v₂=$\frac{1}{4}$v₀…⑧
  v_B=v_C=v₃=$\frac{3}{8}$v₀…⑨
故答案為：（1）L-$\frac{{v}_{0}^{2}}{4μg}$．（2）$\frac{3}{8}$v₀．

點評 本題是對研究對象、多過程問題，關鍵是要分析清楚物體的運動過程，應用動量守恒定律與能量守恒定律即可正確解題，求C的路程是要注意B、C位移間的幾何關系．