Question

3．如圖所示，勻強(qiáng)電場區(qū)域和勻強(qiáng)磁場區(qū)域是緊鄰的，且長度足夠大，寬度相等均為d，電場方向在紙平面內(nèi)豎直向下，而磁場方向垂直紙面向里．一帶正電粒子從O點(diǎn)以速度v₀沿垂直電場方向進(jìn)入電場，在電場力的作用下發(fā)生偏轉(zhuǎn)，從A點(diǎn)離開電場進(jìn)入磁場，離開電場時(shí)帶電粒子在電場方向的位移為$\fracthvjbtb{2}$，當(dāng)粒子從C點(diǎn)穿出磁場時(shí)速度方向與進(jìn)入電場O點(diǎn)時(shí)的速度方向一致．（帶電粒子重力不計(jì)）求
（l）帶電粒子從A點(diǎn)進(jìn)入磁場時(shí)的速度v；
（2）帶電粒子在電、磁場中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t；
（3）其它條件不變，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度至少變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦稌r(shí)，粒子可返回電場．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)偏轉(zhuǎn)位移和初速度可以求出粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度大小和方向，又粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，不改變粒子速度的大小，故可求穿出磁場時(shí)的速度v；
（2）分別求出粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，在磁場中根據(jù)軌跡求出圓心角，據(jù)此處理運(yùn)動(dòng)時(shí)間即可；
（3）明確粒子回到電場的臨界條件，由幾何關(guān)系求出半徑，再由洛倫茲力充當(dāng)向心力即可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度．

解答 解：（1）帶電粒子在勻強(qiáng)電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，有：d=v₀t₁
$\fracz3njfdx{2}=\frac{1}{2}at_1^2$
v_y=at₁
解得：${t_1}=\fracv317dtn{v_0}$，$a=\frac{v_0^2}r95jzv3$，
v_y=v₀
所以：$v=\sqrt{v_0^2+v_y^2}=\sqrt{2}{v_0}$
$tanθ=\frac{v_y}{v_0}=1$，θ=45°速度方向與水平成45°角．
（2）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖所示．軌跡對應(yīng)圓心角為45°角．由圖可知，
運(yùn)動(dòng)軌道半徑為：$r=\sqrt{2}d$
運(yùn)動(dòng)周期為：$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πd}{v_0}$
帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：${t_2}=\frac{1}{8}T=\frac{πd}{{4{v_0}}}$
所以，帶電粒子在電、磁場中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：$t={t_1}+{t_2}=（1+\frac{π}{4}）\fracfnjfrjt{v_0}$
（3）洛侖茲力提供向心力，有：$qvB=m\frac{v^2}{r}$
得磁感應(yīng)強(qiáng)度為：$B=\frac{mv}{qr}=\frac{{m{v_0}}}{qd}$
設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)锽₁ 時(shí)，帶電粒子恰好能返回電場，軌跡圓恰好與右邊界相切；軌跡如圖所示．
由圖可得：d=r₁+r₁cosθ，${r_1}=（2-\sqrt{2}）d$
洛侖茲力提供向心力，有：$qv{B_1}=m\frac{v^2}{r_1}$
得，這時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：${B_1}=\frac{mv}{{q{r_1}}}=\frac{{（1+\sqrt{2}）m{v_0}}}{qd}$
所以，磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)變?yōu)樵瓉淼?（1+\sqrt{2}）$倍．
答：（l）帶電粒子從A點(diǎn)進(jìn)入磁場時(shí)的速度v為$\sqrt{2}$v₀；
（2）帶電粒子在電、磁場中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t為$（1+\frac{π}{4}）\fraczh5jrzt{{v}_{0}}$；
（3）其它條件不變，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度至少變?yōu)樵瓉淼?\frac{（1+\sqrt{2}）m{v}_{0}}{qd}$倍時(shí)，粒子可返回電場．

點(diǎn)評 本題中粒子先后在電場和磁場中運(yùn)動(dòng)，軌跡不同，研究方法也不同，電場中運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解和合成，磁場中運(yùn)用幾何知識畫軌跡，求半徑；再由洛倫茲力充當(dāng)向心力求解即可．