Question

20．三個(gè)質(zhì)量分布均勻的小球A、B、C，質(zhì)量依次為m、m、2m．這三個(gè)小球被固定在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正三角形的頂點(diǎn)上（球心與頂點(diǎn)重合）．求：
（1）A、B對(duì)C球的萬(wàn)有引力大�。�
（2）A、C對(duì)B球的萬(wàn)有引力大�。�

Answer 1

分析 （1）先求A、B兩個(gè)小球單獨(dú)對(duì)C球的萬(wàn)有引力，再根據(jù)平行四邊形定則合成
（2）先求A、C兩球單獨(dú)對(duì)B球的萬(wàn)有引力，再運(yùn)用正交分解法求合力

解答 解：（1）A對(duì)C的萬(wàn)有引力${F}_{1}^{\;}=G\frac{m•2m}{{L}_{\;}^{2}}=\frac{2G{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$
B對(duì)C的萬(wàn)有引力為${F}_{2}^{\;}=G\frac{m•2m}{{L}_{\;}^{2}}=\frac{2G{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$
A、B對(duì)C球的萬(wàn)有引力大小為$F={F}_{1}^{\;}cos30°+{F}_{2}^{\;}cos30°=\frac{2\sqrt{3}G{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$
（2）A對(duì)B的萬(wàn)有引力為：${F}_{3}^{\;}=G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$
C對(duì)B的萬(wàn)有引力為：${F}_{4}^{\;}=G\frac{m•2m}{{L}_{\;}^{2}}=\frac{2G{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$
將${F}_{3}^{\;}、{F}_{4}^{\;}$沿水平和豎直方向正交分解，如圖所示
${F}_{4x}^{\;}={F}_{4}^{\;}cos30°=\frac{\sqrt{3}G{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$
${F}_{4y}^{\;}={F}_{4}^{\;}sin30°=\frac{G{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$
豎直方向合力${F}_{y}^{\;}={F}_{3}^{\;}+{F}_{4Y}^{\;}=\frac{2G{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$
水平方向的合力${F}_{x}^{\;}={F}_{4x}^{\;}=\frac{\sqrt{3}G{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$
A、C對(duì)B的萬(wàn)有引力${F}_{B}^{\;}=\sqrt{{F}_{x}^{2}+{F}_{y}^{2}}=\sqrt{7}G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$
答：（1）A、B對(duì)C球的萬(wàn)有引力大小為$\frac{2G{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$；
（2）A、C對(duì)B球的萬(wàn)有引力大小為$\sqrt{7}G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查萬(wàn)有引力的疊加，根據(jù)力的獨(dú)立作用原理，根據(jù)萬(wàn)有引力定律求出每個(gè)小球受到其他小球的引力，畫(huà)出受力分析圖，采用合成法或正交分解法求出合力．