Question

【題目】如圖所示，已知半徑分別為R和r（R＞r）的甲、乙兩個(gè)光滑的圓形軌道安置在同一豎直平面上，甲軌道左側(cè)又連接一個(gè)光滑的軌道，兩圓形軌道之間由一條水平軌道CD相連．一小球自某一高度由靜止滑下，先滑上甲軌道，通過動(dòng)摩擦因數(shù)為μ的CD段，又滑上乙軌道，最后離開圓軌道．若小球在兩圓軌道的最高點(diǎn)對(duì)軌道壓力都恰好為零．試求：

（1）小球分別經(jīng)過C、D時(shí)的速度VC和VD的大��；
（2）小球由靜止釋放時(shí)的高度h；
（3）水平CD段的長(zhǎng)度l．

Answer 1

【答案】
（1）

解：小球在光滑圓軌道上滑行時(shí)，機(jī)械能守恒，設(shè)小球滑過C點(diǎn)時(shí)的速度為vc，通過甲環(huán)最高點(diǎn)速度為v′，

根據(jù)小球?qū)ψ罡唿c(diǎn)壓力為零，有：mg= ①

取軌道最低點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)，由機(jī)械守恒定律得： mvC2=mg2R+ mv′2②

由①、②兩式消去v′，可得vC= ③

同理可得小球滑過D點(diǎn)時(shí)的速度vD= ④

所以小球經(jīng)過C點(diǎn)的速度為 ； 經(jīng)過D點(diǎn)的速度為

（2）

解：小球從在甲軌道左側(cè)光滑軌道滑至C點(diǎn)時(shí)機(jī)械能守恒，有：mgh= mvC2⑤

由③、⑤兩式聯(lián)立解得 h=2.5R

（3）

解：設(shè)CD段的長(zhǎng)度為l，對(duì)小球滑過CD段過程應(yīng)用動(dòng)能定理可得：﹣μmgl= mvD2﹣ mvC2⑥

由③、④、⑥三式聯(lián)立解得l=

【解析】（1）小球滾到兩圓軌道最高點(diǎn)均僅受重力，運(yùn)用向心力公式可求出在其位置的速度；（2）因?yàn)檐壍拦饣�，則由機(jī)械能守恒定律可求出軌道最低點(diǎn)速度，從而也求出釋放的高度；（3）由于CD段粗糙，不能運(yùn)用機(jī)械守恒定律，選用動(dòng)能定理，就可算出長(zhǎng)度．