Question

14．一根質(zhì)量為M的均質(zhì)繩，其兩端固定在天花板上的A、B兩點，在繩的中點懸掛一質(zhì)量為m的重物，懸掛重物繩的質(zhì)量不計．如圖所示，設a為繩的端點A、B點的切線與豎直方向的夾角、β為均質(zhì)繩中點處的切線方向和豎直方向的夾角，則下列說法中正確的是（　�。�

• A． $\frac{tana}{tanβ}$=$\frac{m}{M+m}$
• B． a可能等于β
• C． 均質(zhì)繩中各點張力大小相等
• D． 若去掉重物，均質(zhì)繩的重心位置不變

Answer 1

分析 先以整體為研究對象，根據(jù)平衡條件分析端點處對繩子的拉力與總重力的關系式；對左半邊繩子研究，得到端點和中點繩子的拉力的關系式；再采用比例法求解．

解答 解：A、設繩子端點處和中點處繩子張力分別為F₁、F₂．
對整體研究，根據(jù)平衡條件得
F₁cosα=$\frac{1}{2}（M+m）g$ ①
對左半邊繩子研究得
F₁cosα=F₂cosβ+$\frac{1}{2}Mg$ ②
F₁sinα=F₂sinβ ③
由①②得到 F₂cosβ=$\frac{1}{2}mg$ ④
則由③：①得 tanα=$\frac{{2{F_2}sinβ}}{（M+m）g}$⑤
由③：④得 tanβ=$\frac{{2{F_1}sinα}}{mg}$⑥
所以由③⑤⑥聯(lián)立得 $\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{m}{M+m}$，故A正確；
B、由于$\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{m}{M+m}$＜1，故α＜β，故B錯誤；
C、由于α≠β，根據(jù)③式，F(xiàn)₁≠F₂，故C錯誤；
D、設想沒有物體m，加上m后，根據(jù)功能關系，W_G+W_F=0，由于拉力做正功，故重力做負功，說明重心上升，故若去掉重物，均質(zhì)繩的重心位置下降，故D錯誤；
故選：A

點評 本題是力平衡問題，難點存在如何選擇研究對象和如何運用數(shù)學知識變形求解，還要結合功能關系列式分析．