Question

17．1656年，惠更斯制造出人類歷史上第一個擺鐘，使人類對時間的測量進(jìn)入嶄新的時代，擺鐘是利用單擺的等時性原則測量時間的．某標(biāo)準(zhǔn)擺鐘的擺長為L，將其移至深度為kR的礦井底部（R為地球的半徑，0＜k＜1），鐘將變快還是就慢？若要計時準(zhǔn)確，擺長應(yīng)調(diào)為多長？假定地球的密度均勻，已知質(zhì)量均勻分布的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零．

Answer 1

分析 利用萬有引力近似等于其重力，得到地球表面的重力加速度g礦井底部的重力加速度 g′，結(jié)合單擺的周期公式及密度公式，聯(lián)立求解．

解答 解：擺鐘移至礦井底部，周期變長，鐘將變慢，地面的物體受到的萬有引力約等于重力，有：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
礦井底部的物體受到的萬有引力約等于重力，有：
$G\frac{M′m}{R{′}_{\;}^{2}}=mg′$
地球的密度均勻，即為：
$\frac{M}{M′}=（\frac{R}{R′}）_{\;}^{3}$
而R’=R（1-k）
由單擺周期公式有：
$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{L}{g}}$
$T′=2π\(zhòng)sqrt{\frac{L′}{g′}}$
聯(lián)立解得：L’=（1-k）L
答：擺鐘將變慢，擺長應(yīng)調(diào)為（1-k）L

點評 本題考查萬有引力定律的應(yīng)用，意在考查對基本物理規(guī)律的分析計算能力．