Question

【題目】如圖所示，一半徑為R，內(nèi)表面粗糙程度處處相同的半圓形軌道豎直固定放置，直徑POQ水平。一質(zhì)量為m的小球自P點(diǎn)正上方高度R處由靜止開始下落，恰好從P點(diǎn)進(jìn)入軌道。小球滑到軌道最低點(diǎn)N時，對軌道的壓力為4mg，重力加速度的大小為g，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力。

（1）求小球運(yùn)動到N點(diǎn)時的速度大小；

（2）求小球從P點(diǎn)運(yùn)動到N點(diǎn)的過程中摩擦力所做的功；

（3）試通過計(jì)算分析說明小球能否到達(dá)Q點(diǎn)？若不能，請說明理由；若能，請說明小球到達(dá)Q點(diǎn)時的速度是否為0。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）小球一定能達(dá)到Q點(diǎn)，且在到達(dá)Q點(diǎn)時的速度沒有減小到0

【解析】試題分析：根據(jù)小球在N點(diǎn)時的受力情況在豎直方向上應(yīng)用牛頓第二定律得到小球在 N點(diǎn)的速度；對小球從靜止開始運(yùn)動到N點(diǎn)的過程應(yīng)用動能定理求得摩擦力做的功，即小球從P點(diǎn)運(yùn)動到N點(diǎn)的過程中摩擦力所做的功；分析小球在右半側(cè)的摩擦力與左半側(cè)摩擦力的情況，然后得到兩邊摩擦力做功的大小關(guān)系，再對從靜止到Q點(diǎn)應(yīng)用動能定理即可．

（1）小球運(yùn)動到N點(diǎn)時，在豎直方向上只受重力和軌道對球的支持力作用；
小球滑到軌道最低點(diǎn)N時，對軌道的壓力為4mg，由牛頓第三定律可知：軌道對球的支持力為4mg；
故在豎直方向上應(yīng)用牛頓第二定律可得： ，所以， ；
（2）小球從靜止運(yùn)動到N點(diǎn)的過程中只有重力、摩擦力做功，而摩擦力只存在于從P點(diǎn)運(yùn)動到N點(diǎn)的過程中，由動能定理可得：小球從P點(diǎn)運(yùn)動到N點(diǎn)的過程中摩擦力所做的功；

（3）根據(jù)左右對稱關(guān)系，在同一高度，由于摩擦力做功使得右半邊的速度變小，軌道的彈力變小，滑動摩擦力變小，因此從N到Q克服摩擦做的功W′小于從P到N克服摩擦做的功W，即。

根據(jù)動能定理得Q點(diǎn)的動能為，由于。

所以小球一定能達(dá)到Q點(diǎn)，且在到達(dá)Q點(diǎn)時的速度沒有減小到0。