Question

14．如圖所示是一個(gè)設(shè)計(jì)“過(guò)山車”的試驗(yàn)裝置的原理示意圖，光滑斜面AB與豎直面內(nèi)的圓形軌道在B點(diǎn)平滑連接，圓形軌道半徑為R．一個(gè)質(zhì)量為m的小車（可視為質(zhì)點(diǎn)）在A點(diǎn)由靜止釋放沿斜面滑下，當(dāng)它第一次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)進(jìn)入圓形軌道時(shí)對(duì)軌道的壓力為其重力的8倍，且小車恰能完成圓周運(yùn)動(dòng)并第二次經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)沿水平軌道向右運(yùn)動(dòng)．已知重力加速度為g．
（1）求A點(diǎn)距水平面的高度h；
（2）假設(shè)小車在豎直圓軌道左半圓軌道部分克服摩擦阻力做的功是它在右半圓軌道部分克服摩擦阻力做的功的$\frac{3}{4}$，求小車第二次經(jīng)過(guò)豎直圓軌道最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力．

Answer 1

分析 （1）設(shè)第一次小車運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的速度大小為v_B，根據(jù)牛頓第二定律及牛頓第三定律求出B點(diǎn)速度，小車從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程機(jī)械能守恒，以B點(diǎn)位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，求出高度；
（2）設(shè)小車在圓軌道最高點(diǎn)的速度為v_C，重力提供向心力，此時(shí)根據(jù)向心力公式求出C點(diǎn)速度，設(shè)小車在右半圓軌道上克服阻力做功W_f，對(duì)小車從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C的點(diǎn)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理求出W_f，對(duì)小車從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)再回到B點(diǎn)的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理與牛頓第二定律可以求出壓力．

解答 解：（1）設(shè)第一次小車運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的速度大小為v_B，受到的支持力為N，
根據(jù)牛頓第二定律：N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
依題意和牛頓第三定律可知：N=8mg，
小車從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程機(jī)械能守恒，以B點(diǎn)位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，
則有：mgh=$\frac{1}{2}$mv_B²，解得：h=$\frac{7}{2}$R；
（2）設(shè)小車在圓軌道最高點(diǎn)的速度為v_C，重力提供向心力，
此時(shí)根據(jù)向心力公式有：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，解得：v_c=$\sqrt{gR}$，
設(shè)小車在右半圓軌道上克服阻力做功W_f，對(duì)小車從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C的點(diǎn)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理有
-mg2R-W_f=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_B²，
設(shè)小車第二次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度為v′，對(duì)小車從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)再回到B點(diǎn)的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理有：
mg•2R-$\frac{3}{4}$W_f=$\frac{1}{2}$mv′²-$\frac{1}{2}$mv_C²，
小車第二次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得：
N′-mg=m$\frac{v{′}^{2}}{R}$，解得：N′=$\frac{9}{2}$mg，
由牛頓第三定律可知，小車對(duì)軌道的壓力為：$\frac{9}{2}$mg；
答：（1）A點(diǎn)距水平面的高度h為$\frac{7}{2}$R；
（2）小車第二次經(jīng)過(guò)豎直圓軌道最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為$\frac{9}{2}$mg．

點(diǎn)評(píng) 涉及力在空間的效應(yīng)，要優(yōu)先考慮動(dòng)能定理．對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)，涉及力的問(wèn)題，往往根據(jù)向心力進(jìn)行分析處理．難度適中．