Question

10．2013年我國相繼完成了“神十”與“天宮”對接，“嫦娥”攜“玉兔”落月兩大工程．某航天愛好者提出“玉兔”回家的設(shè)想：如圖，將攜帶“玉兔”的返回系統(tǒng)由月球表面發(fā)射到h高度的軌道上，與在該軌道繞月球做圓周運動的飛船對接，然后由飛船送“玉兔”返回地球．若忽略月球的自轉(zhuǎn)，已知月球半徑為R，引力場量為G，月球質(zhì)量為M．求：
（1）在距月球表面h高度的軌道上繞月運行的飛船的運行周期T；
（2）月球表面的重力加速度為g_月；
（3）在月球表面把“玉兔”發(fā)射成月球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度v．

Answer 1

分析 （1）由月球的萬有引力充當向心力，根據(jù)萬有引力定律即可求出周期；
（2）根據(jù)月球表面的物體受到的重力等于萬有引力，計算月球表面的重力加速度．
（3）由月球的萬有引力充當向心力，根據(jù)萬有引力定律和向心力公式列式求解線速度．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力定律可得：$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$
所以：T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{GM}}$
（2）根據(jù)萬有引力定律，不考慮月球的自轉(zhuǎn)，有：
mg_月=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$
可得：g_月=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
（3）在月球表面把“玉兔”發(fā)射成月球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度對應(yīng)的軌道半徑為R，由牛頓第二定律和萬有引力定律得：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
答：（1）在距月球表面h高度的軌道上繞月運行的飛船的運行周期為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{GM}}$；
（2）月球表面的重力加速度為g_月為$\frac{GM}{{R}^{2}}$；
（3）在月球表面把“玉兔”發(fā)射成月球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度為$\sqrt{\frac{GM}{R}}$．

點評 把星球表面的物體運動和天體運動結(jié)合起來是考試中常見的問題；運用黃金代換式GM=gR²求出問題是考試中常見的方法．