Question

【題目】如圖所示，一氣缸放在大氣中，大氣壓，活塞質(zhì)量，面積，活塞下連一彈簧，原長為，勁度系數(shù)，活塞與缸壁都不導(dǎo)熱，而活塞與缸壁之間存在摩擦，旦大小恒為．假設(shè)摩擦產(chǎn)生的熱有一半被活塞下的氣體吸收，活塞下有的理想單原子氣體，初態(tài)，溫度℃，固定活塞，在活塞上放上質(zhì)量為的木塊后，釋放活塞（取），木塊脫離活塞后不再回來，求：

（1）活塞上升達(dá)到的最大高度（相對于氣缸底部）；

（2）活塞上升達(dá)到最大高度時氣體的狀態(tài)參量，即壓強(qiáng)、體積、溫度

Answer 1

【答案】（1） (2) 氣體的壓強(qiáng)，體積，溫度℃．

【解析】

（1）設(shè)活塞至缸底的距離為，以、、表示氣體的狀態(tài)參量，則有，

即． ①

依題意，由熱力學(xué)第一定律有． ②

由①②兩式可得． ③

對上式考慮到初始條件，有，即有．

此式說明，氣體在變化過程中，其壓強(qiáng)保持不變，為等壓道程．

對活塞與木塊整體進(jìn)行受力分析，其受力如圖所示，有活塞在平衡位置時有

，

解得． ④

活塞在分離木塊位置時，活塞的加速度為，此時應(yīng)有，

解得． ⑤

由于、、、均為恒力，則系統(tǒng)的運(yùn)動是在彈力作用的簡諧運(yùn)動，且

（木塊脫離前），

<>（木塊脫離后）． ⑥

對氣體的初態(tài)進(jìn)行分析，有，解得．

所以，木塊脫離前活塞振動的振幅為．

則活塞用表示的振動方程為．

于是，

代入，得，．

此后，振動的平衡位置發(fā)生變化，平衡位置滿足

，解得．

且新的振幅滿足．

故振動方程為．

代入時，，得．

又，

當(dāng)時，．

此時，則活塞相對于氣缸底部上升到達(dá)的總高度為

．

（2）活塞上升達(dá)到最大高度時，

氣體的壓強(qiáng)，

體積，

溫度℃．

說明：對于本題的解答，如不能作出氣體的變化過程是等壓變化，那么，我們也許會經(jīng)歷如下的解答過程．

設(shè)開始時，彈簧的長度為，則由克拉珀龍方程，有，解得．

釋放活塞時，有，即活塞會向上運(yùn)動．

木塊脫離活塞時，其應(yīng)具有向下的加速度，設(shè)此時彈簧的長度為，且，氣體的壓強(qiáng)為，溫度為，所以，對活塞有．

對氣體有．

對系統(tǒng)有

．

此后，活塞繼續(xù)上升，上升到最大高度時，設(shè)彈簧的長度為，且，氣體的壓強(qiáng)為，溫度為，所以，對系統(tǒng)有

．

對氣體有．

至此，我們應(yīng)該進(jìn)入到解方程的階段，但基本上會是無功而返．