Question

20．如圖所示．半徑R=0.4m的圓軌道上有一固定光滑斜面AB，半徑OB豎直，斜面AB與水平面BC間用一根短的光滑圓弧平滑連接，B、C兩點(diǎn)間距L=0.5m，P點(diǎn)位于C點(diǎn)正上方h=8R處，在一小球從P點(diǎn)開(kāi)始做自由落體運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，有一小滑塊從斜面頂端A點(diǎn)由靜止開(kāi)始沿斜面下滑，經(jīng)過(guò)B點(diǎn)后沿水平面做勻減速運(yùn)動(dòng)，在C點(diǎn)剛停下時(shí)恰好與小球相撞．小球和滑塊均可視為質(zhì)點(diǎn)，取重力加速度g=10m/s²．
（1）小球從p點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的時(shí)間t和滑塊在斜面AB上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁；
（2）滑塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速率v以及斜面AB的傾角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求P到C的時(shí)間，根據(jù)牛頓第二定律求滑塊在斜面的加速度，再由位移時(shí)間關(guān)系式求滑塊在斜面AB上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
（2）求出滑塊從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的時(shí)間，由位移關(guān)系式求出B點(diǎn)的速度，由速度時(shí)間關(guān)系得出斜面AB的傾角θ的正弦值

解答 解：（1）小球從p點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)做自由落體運(yùn)動(dòng)，$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
解得：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×8R}{g}}=\sqrt{\frac{16×0.4}{10}}s=0.8s$
根據(jù)牛頓第二定律得滑塊在斜面上運(yùn)動(dòng)的加速度大小${a}_{1}^{\;}=gsinθ$
滑塊在斜面AB上做勻加速運(yùn)動(dòng)，則$2Rsinθ=\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{2}$
得${t}_{1}^{\;}=2\sqrt{\frac{R}{g}}=0.4s$
（2）滑塊從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的時(shí)間${t}_{2}^{\;}=t-{t}_{1}^{\;}=0.4s$
則由勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式得$L=\frac{v}{2}{t}_{2}^{\;}$
得v=2.5m/s
滑塊在斜面AB上做勻加速運(yùn)動(dòng)，則$v={a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}$
得$sinθ=\frac{5}{8}$
答：（1）小球從p點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的時(shí)間t為0.8s和滑塊在斜面AB上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{1}^{\;}$位0.4s；
（2）滑塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速率v為2.5m/s以及斜面AB的傾角θ的正弦值為$\frac{5}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題時(shí)要知道加速度是聯(lián)系力和運(yùn)動(dòng)的橋梁，是牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合應(yīng)用時(shí)必求的量，同時(shí)要抓住自由落體運(yùn)動(dòng)和滑塊運(yùn)動(dòng)的同時(shí)性，研究?jī)蓚�(gè)物體運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系．