Question

如圖1所示為車站使用的水平傳送帶的模型，它的水平傳送帶的長度為L=8m，傳送帶的皮帶輪的半徑均為R=0.2m，傳送帶的上部距地面的高度為h=0.45m，現(xiàn)有一個(gè)旅行包（視為質(zhì)點(diǎn)），以v₀=10m/s的初速度水平地滑上水平傳送帶，已知旅行包與皮帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.6．g取10m/s²，試討論下列問題：
（1）若傳送帶靜止，旅行包滑到B端時(shí)，人若沒有及時(shí)取下，旅行包將從B端滑落，則包落地點(diǎn)距B端的水平距離為多少？
（2）設(shè)皮帶輪順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，并設(shè)水平傳送帶長度仍為8m，旅行包滑上傳送帶的初速度恒為10m/s，當(dāng)皮帶輪的角速度ω₁值在什么范圍內(nèi)，旅行包落地點(diǎn)距B端的水平距離始終為（1）中所求的水平距離？若皮帶輪的角速度ω₂=40rad/s，旅行包落地點(diǎn)距B端的水平距離又是多少？
（3）設(shè)皮帶輪以不同的角速度順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，畫圖2出旅行包落地點(diǎn)距B端的水平距離s隨皮帶輪的角速度ω變化的圖象．

Answer 1

分析：（1）旅行包向右滑動(dòng)，受到重力、支持力和滑動(dòng)摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律列式求加速度，然后根據(jù)速度位移公式列式求解末速度，最后根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式求解水平射程；
（2）如果旅行包一直減速，到達(dá)最右端的速度與傳送帶不動(dòng)時(shí)的速度相同，則平拋的初速度相同，射程也就相同，故只需傳送帶的速度小于旅行箱到達(dá)最右端的速度即可；皮帶的角速度ω₁=40rad/s，旅行箱先減速后勻速，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式列式求解．
（3）分三種情況進(jìn)行討論分析：一直勻減速運(yùn)動(dòng)，先勻減速后勻速，一直勻加速運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而求出角速度與水平位移的關(guān)系．

解答：解：（1）旅行包做勻減速運(yùn)動(dòng)，a=μg=6m/s²
包到達(dá)B端的速度為 v=

v 2 0 -2aL

=

100-96

=2m/s
包的落地點(diǎn)距B端的水平距離為s=vt=v

2h g

=0.6m（m
）
（2）包在傳送帶上須勻減速運(yùn)動(dòng)，且到達(dá)B端的速度為v=2m/s時(shí)，水平距離才不變．
皮帶輪的臨界角速度ω1=

v

R

=

2

0.2

=10(rad/s)
∴ω值的范圍是ω≤10rad/s．                                         
當(dāng)ω₂=40rad/s時(shí)，皮帶速度為v₂=ω₂R=8m/s
當(dāng)包的速度也為v₂=8m/s時(shí)，在皮帶上運(yùn)動(dòng)了s=

v 2 0 - v 2 2

2a

=

100-64

12

=3m＜8m；
∴以后旅行包勻速直線運(yùn)動(dòng)，旅行包到達(dá)B端的速度為v₂=8m/s
旅行包的落地點(diǎn)距B端的水平距離為S2=v2

2h g

=8×

2×0.45 10

=2.4m
（3）①當(dāng)ω≤10rad/s時(shí)，包一直減速，在B端速度2m/s，則：
平拋的水平距離為s=0.6m；
②當(dāng)10rad/s＜ω＜70rad/s時(shí)，水平先減速或加速再勻速，包在B端的速度與傳送帶的速度相同，則：
平拋的水平距離為s=vt=ωR

2h g

=0.06ω(m)
③當(dāng)ω≥70rad/s時(shí)，包一直加速，在B端速度14m/s，則：
平拋的水平距離為s=4.2m．則旅行包落地點(diǎn)距B端的水平距離s隨皮帶輪的角速度ω變化的圖象如圖所示．
答：
（1）包的落地點(diǎn)距B端的水平距離是0.6m；
（2）設(shè)皮帶輪順時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)，且皮帶輪的角速度ω₁=40rad/s，旅行包落地點(diǎn)距B端的水平距離是2.4m；
（3）圖象如圖所示．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是對(duì)小滑塊的運(yùn)動(dòng)情況分析清楚，然后根據(jù)牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式列式求解．