Question

4．宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通�？珊雎云渌�星體對(duì)他們的引力作用．已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星以相同的周期T做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行．設(shè)每個(gè)星體的質(zhì)量均為m．
（1）試求第一種形式下，星體運(yùn)動(dòng)的半徑和線速度；
（2）假設(shè)兩種形式星體的運(yùn)動(dòng)周期相同，第二種形式下星體之間的距離應(yīng)為多少．

Answer 1

分析 （1）畫(huà)出三顆星位置示意圖．兩側(cè)的星由另外兩個(gè)星的萬(wàn)有引力的合力提供向心力，列式求解速度和周期．
（2）對(duì)于任意一個(gè)星體，由另外兩個(gè)星體的萬(wàn)有引力的合力提供向心力，列式求解周期．

解答 解：（1）在第一種形式下：三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行；
其中邊上的一顆星受中央星和另一顆邊上星的萬(wàn)有引力提供向心力．
$G\frac{{m}^{2}}{{R}^{2}}+G\frac{{m}^{2}}{{（2R）}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
得v=$\sqrt{\frac{5Gm}{4R}}$
則周期為T=$\frac{2πR}{v}$=4πR$\sqrt{\frac{R}{5Gm}}$  ①
（2）另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行，
由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律得：
$2\frac{Gmm}{{l}^{2}}cos30°=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}\frac{l}{2cos30°}$     ②
有①②解得：l=$\root{3}{\frac{12}{5}}R$．
答：（1）試求第一種形式下，星體運(yùn)動(dòng)的線速度為$\sqrt{\frac{5Gm}{4R}}$，周期為4πR$\sqrt{\frac{R}{5Gm}}$．
（2）假設(shè)兩種形式星體的運(yùn)動(dòng)周期相同，第二種形式下星體之間的距離應(yīng)為$\root{3}{\frac{12}{5}}R$．

點(diǎn)評(píng) 萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律是力學(xué)的重點(diǎn)，在本題中有些同學(xué)找不出什么力提供向心力，關(guān)鍵在于進(jìn)行正確受力分析．