Question

如圖所示，兩根相距為L的金屬軌道固定于水平面上，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，一根質(zhì)量為m、長為L、電阻為R的金屬棒兩端放于導(dǎo)軌上，導(dǎo)軌與金屬棒間的動(dòng)摩擦因數(shù)為?，棒與導(dǎo)軌的接觸電阻不計(jì)，導(dǎo)軌左端連有阻值為2R的電阻． 有n段豎直向下寬度為a的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，相鄰磁場(chǎng)區(qū)的間距為b（a＞b）．金屬棒初始位于OO′處，與第一段磁場(chǎng)相距2a．若金屬棒初速為零，現(xiàn)對(duì)棒施以水平向右的恒定拉力F，使棒穿過各段磁場(chǎng)，發(fā)現(xiàn)金屬棒穿過各寬為b的非磁場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間相同．

求（1）金屬棒進(jìn)入第一段磁場(chǎng)時(shí)的速度和此時(shí)磁場(chǎng)對(duì)金屬棒的作用力．
（2）在金屬棒從進(jìn)入第一段磁場(chǎng)到從第n段磁場(chǎng)穿出的過程中，導(dǎo)軌左端電阻上產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析：（1）金屬棒進(jìn)入第一段磁場(chǎng)前受到拉力和滑動(dòng)摩擦力作用，根據(jù)動(dòng)能定理求解金屬棒進(jìn)入第一段磁場(chǎng)時(shí)的速度．由E=BLv、I=

E

R+r

、F=IBL求出安培力的大小，由左手定則判斷安培力的方向．
（2）由題意，金屬棒穿過各寬為b的非磁場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間相同，加速度也相同，進(jìn)入各磁場(chǎng)時(shí)的速度均相同，等于金屬棒進(jìn)入第一段磁場(chǎng)時(shí)的速度v₁；離開各磁場(chǎng)時(shí)的速度也相同，應(yīng)等于金屬棒離開第一段磁場(chǎng)時(shí)的速度v₂．根據(jù)動(dòng)能定理分別研究金屬棒經(jīng)過非磁場(chǎng)區(qū)域過程，得到速度v₂．由動(dòng)能定理求出金屬棒經(jīng)過每段磁場(chǎng)產(chǎn)生的電能，再由串聯(lián)電路特點(diǎn)求出導(dǎo)軌左端電阻上產(chǎn)生的熱量．

解答：解：（1）金屬棒進(jìn)入第一段磁場(chǎng)前只受恒定拉力F和摩擦力作用
則：(F-μmg)×2a=

1

2

mv12
v1=

4(F-μmg)a m

E=BLv₁
I=

E

3R

=

BLv1

3R

得：F安=IBL=

B2L2

3R

4(F-μmg)a m

，向左
（2）由于金屬棒穿過各寬度為b的非磁場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間相同且加速度也相同，說明：進(jìn)入各磁場(chǎng)時(shí)的速度均相同，等于金屬棒進(jìn)入第一段磁場(chǎng)時(shí)的速度v₁；離開各磁場(chǎng)時(shí)的速度也相同，應(yīng)等于金屬棒離開第一段磁場(chǎng)時(shí)的速度v₂．
經(jīng)過非磁場(chǎng)區(qū)域過程：(F-μmg)b=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 2

解得   v2=

2(F-μmg)(2a-b) m

每經(jīng)過一段磁場(chǎng)產(chǎn)生的電能相同，設(shè)為E_電，根據(jù)動(dòng)能定理，有
  Fa-μmga-E電=

1

2

mv22-

1

2

mv12
所以：

E電=Fa-μmga- 1 2 mv22+ 1 2 mv12 =Fa-μmga-(F-μmg)(2a-b)+(F-μmg)×2a =(F-μmg)(a+b)

Q=

nE電

3R

×2R=

2

3

n(F-μmg)(a+b)
答：
（1）金屬棒進(jìn)入第一段磁場(chǎng)時(shí)的速度為

4(F-μmg)a m

，此時(shí)磁場(chǎng)對(duì)金屬棒的作用力為

B2L2

3R

4(F-μmg)a m

．
（2）在金屬棒從進(jìn)入第一段磁場(chǎng)到從第n段磁場(chǎng)穿出的過程中，導(dǎo)軌左端電阻上產(chǎn)生的熱量為

2

3

n(F-μmg)(a+b)．

點(diǎn)評(píng)：本題分析受力是基礎(chǔ)，關(guān)鍵從能量轉(zhuǎn)化和守恒角度來求解，解題時(shí)要注意抓住使棒進(jìn)入各磁場(chǎng)的速度都相同，以及通過每段磁場(chǎng)時(shí)電路中發(fā)熱量均相同的條件．