Question

4．在水平面上固定著一個(gè)足夠長(zhǎng)的寬為L(zhǎng)、傾角為30°光滑絕緣斜面，在斜面頂端的兩側(cè)，各固定有一個(gè)光滑的定滑輪，MN、PQ是兩根金屬棒，用細(xì)導(dǎo)線通過(guò)兩滑輪跨接在斜面上，如圖所示，已知MN的質(zhì)量為3m、電阻為r，PQ的質(zhì)量為m，電阻為2r，其余部分質(zhì)量和電阻均不計(jì)．整個(gè)空間存在著水平向右的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；開(kāi)始時(shí)，MN靜止在斜面頂端，PQ在豎直面內(nèi)，試求：（不計(jì)電磁輻射）
（1）MN在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度；
（2）若通過(guò)傳感器測(cè)得通過(guò)導(dǎo)線橫截面的電量為BL²/6r，整個(gè)回路產(chǎn)生的電熱是多少？．

Answer 1

分析 （1）導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)受力平衡，分別對(duì)PQ和MN棒研究，由平衡條件和安培力公式列式，即可求得速度．
（2）先根據(jù)平均電動(dòng)勢(shì)以及Q=It求出PQ下降的距離，然后根據(jù)系統(tǒng)的能量守恒列式，即可求得電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)棒的速度為v；
PQ棒向下運(yùn)動(dòng)，由右手定則可知，產(chǎn)生的感應(yīng)電流的方向由P流向Q；MN棒向上運(yùn)動(dòng)，由右手定則可知，感應(yīng)電流由N流向M，兩個(gè)感應(yīng)電流的方向在電路中是同向的，所以電路中的總電動(dòng)勢(shì)是兩部分電動(dòng)勢(shì)的和．
PQ產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為：E₁=BLv
MN產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為：E₂=BLvsin30°=0.5BLv
回路中的總電動(dòng)勢(shì)為：E=E₁+E₂=1.5BLv
回路中的電流為：I=$\frac{E}{r+2r}=\frac{1.5BLv}{3r}=\frac{BLv}{2r}$
由左手定則可知，PQ受到的安培力的方向向上，MN受到的安培力的方向向下；設(shè)MN與PQ之間細(xì)導(dǎo)線的拉力為T(mén)，根據(jù)平衡條件，
 對(duì)金屬棒PQ有：3mg=T+F₁
 對(duì)金屬棒MN有：T=mgsinθ+F₂，
又：F₁=F₂=BIL
可解得：v=$\frac{2.5mgr}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）設(shè)該過(guò)程中PQ下降的距離為d，則MN也沿斜面向上運(yùn)動(dòng)d，PQ掃過(guò)的面積為：S₁=Ld
MN掃過(guò)的垂直于磁場(chǎng)方向的面積為：S₂=Ldsin30°=1.5Ld
設(shè)該過(guò)程使用的時(shí)間為t，則平均電動(dòng)勢(shì)為：$\overline{E}=\frac{B（{S}_{1}+{S}_{2}）}{t}$
電路中的平均電流為：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{r+2r}$
通過(guò)導(dǎo)線橫截面的電量為：q=$\overline{I}t$
又已知：q=$\frac{B{L}^{2}}{6r}$
聯(lián)立可得：d=$\frac{L}{3}$
PQ與MN運(yùn)動(dòng)距離d的過(guò)程中，根據(jù)能量守恒定律得：
  3mgd-mgdsinθ=$\frac{1}{2}（3m+m）{v}^{2}$+Q  
可得：Q=$\frac{5}{6}mgL-\frac{12.5{m}^{3}{g}^{2}{r}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$
答：（1）MN在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度是$\frac{2.5mgr}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）整個(gè)回路產(chǎn)生的電熱是$\frac{5}{6}mgL-\frac{12.5{m}^{3}{g}^{2}{r}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)中的力學(xué)問(wèn)題，關(guān)鍵要正確推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系，正確分析能量如何轉(zhuǎn)化，從力和能兩個(gè)角度進(jìn)行求解．