Question

3．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，第I象限存在沿y軸負(fù)方向的水平勻強(qiáng)電場，在x軸下側(cè)平面內(nèi)某處固定著一點(diǎn)電荷（設(shè)勻強(qiáng)電場與點(diǎn)電荷電場以x軸為界互不影響），一質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電的粒子從y軸正半軸上的M點(diǎn)以速度v₀垂直于y軸射入電場，經(jīng)x軸上的N點(diǎn)與x軸正方向成θ=60°角射入第IV象限，此后在點(diǎn)電荷作用下做勻速圓周運(yùn)動，最后從y軸負(fù)半軸上的P點(diǎn)垂直于y軸射出，OP=3R．不計(jì)粒子重力，靜電力常量為k，求：
（1）M、N兩點(diǎn)間的電勢差U_MN；
（2）固定x軸下側(cè)平面內(nèi)的點(diǎn)電荷電量Q；
（3）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度E大�。�

Answer 1

分析 這是一道高考原題，涉及粒子在電場和磁場中的運(yùn)動，粒子先做類平拋運(yùn)動，進(jìn)入第四象限后再做勻速圓周運(yùn)動．
（1）由題設(shè)進(jìn)入第四象限的速度方向和初速度求出粒子在磁場中的速度，根據(jù)動能定理求出MN間的電勢差．
（2）由題設(shè)離開磁場時速度方向與y軸垂直和進(jìn)入磁場速度方向確定圓周運(yùn)動的圓心，由幾何關(guān)系求出半徑，由庫侖力提供向心力求出點(diǎn)電荷的電量Q．
（3）再回到勻強(qiáng)電場中的類平拋運(yùn)動，末速度方向已知，從而求出沿場強(qiáng)方向的速度，而此速度是由電場加速的，由運(yùn)動學(xué)公式求出加速度，再求出電場強(qiáng)度．

解答 解（1）設(shè)粒子過N點(diǎn)時的速度為v，由速度的合成有：
        $\frac{{v}_{0}}{v}=cosθ$
所以：v=2v₀ 　　　　  
粒子從M點(diǎn)運(yùn)動到N點(diǎn)的過程，據(jù)動能定理：
    $q{U}_{MN}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$ 　　　　
    ${U}_{MN}=\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2q}$ 
（2）設(shè)帶電粒在第四象限內(nèi)的運(yùn)動半徑為r
由幾何關(guān)系得：OP=$\frac{r}{2}+r=3R$　　　　　　　　 　　　　
                        且$k\frac{Qq}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$　　                                   
             聯(lián)立解得：$Q=\frac{8mR{{v}_{0}}^{2}}{kq}$　　　                                 
（3）帶電粒子從電場中出來時，由速度合成得：
               U_y=U₀tan60°　　　　　 
   而時間：$t=\frac{rcos30°}{{v}_{0}}$　　　　　　　　　  
                ${U}_{y}=at=\frac{Eq}{t}t$　　　　　　　　　  
    聯(lián)立得：$E=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{qR}$
答：（1）M、N兩點(diǎn)間的電勢差為$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2q}$．
（2）固定x軸下側(cè)平面內(nèi)的點(diǎn)電荷電量為$\frac{8mR{{v}_{0}}^{2}}{kq}$．
（3）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度E大小為$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2q}$．

點(diǎn)評 題目的靚點(diǎn)在于離開勻強(qiáng)電場的速度方向以及離開磁場的速度方向，隱含了許多物理知識，關(guān)聯(lián)著粒子在電場/、磁場的運(yùn)動．此題涉及動能定理、勻速圓周運(yùn)動、庫侖定理等內(nèi)容，是力學(xué)和電磁學(xué)綜合題，考察全面分析問題和解決問題的能力．