Question

8．如圖所示，MN為兩豎直放置的金屬板，其間的電壓U_NM=180V，兩水平放置的金屬板FH間所加電壓U_FH=7.2sin2πtV（從第一個(gè)電子剛進(jìn)入FH板開始計(jì)時(shí)）．已知MN兩板各有一個(gè)小孔，兩小孔連線水平且與MN兩板垂直，并剛好通過FH兩板的中心線，以此線作為x軸，F(xiàn)H的中心線末端為坐標(biāo)原點(diǎn)O，豎直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．已知坐標(biāo)系的第一、四象限存在垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=5×10^-4T．現(xiàn)有電子可以源源不斷的從M板的小孔進(jìn)入電場(chǎng)，設(shè)電子進(jìn)入M孔的初速度可以忽略，且相同時(shí)間內(nèi)進(jìn)入的電子數(shù)目相同．已知電子電量e=1.6×10^-19C，電子質(zhì)量m=9×10^-31kg，F(xiàn)H板板長(zhǎng)L=0.4m，板間間距d=0.04m，不計(jì)電子重力及電子間的相互作用力．
（1）求電子從N板小孔射出時(shí)的速度大小及t=0時(shí)刻進(jìn)入FH板的電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑；
（2）求從t=0時(shí)刻至t=1s時(shí)刻從FH板射入的電子中，能從FH板射出的電子數(shù)與進(jìn)入FH板的電子數(shù)之比；
（3）求電子從磁場(chǎng)射出的位置縱坐標(biāo)y的范圍；
（4）已知所有從磁場(chǎng)射出的電子好像都是從磁場(chǎng)中某一點(diǎn)沿直線射出來的一樣，求該點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）加速電場(chǎng)對(duì)電子做的功等于電子動(dòng)能的變化，由洛倫茲力提供向心力得出半徑；
（2）在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中電子做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解求出電子能穿過電場(chǎng)的最大電壓，然后由電壓的瞬時(shí)值表達(dá)式即可求出；
（3）作出圓周運(yùn)動(dòng)出磁場(chǎng)的臨界軌跡，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)求出電子射出磁場(chǎng)時(shí)的速度大小以及偏轉(zhuǎn)的方向，根據(jù)根據(jù)洛倫茲力提供向心力求解電子運(yùn)動(dòng)的半徑，在結(jié)合幾何關(guān)系即可求出；
（4）畫出電子沿x軸進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡和電子從電場(chǎng)的邊緣進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系即可求得．

解答 解：（1）電子在加速電場(chǎng)中由動(dòng)能定理得：
eU_MN=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$   ①
解得：
v₀=8.0×10⁶m/s
由于電子的速度大，穿過偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的過程中偏轉(zhuǎn)電壓幾乎不變，t=0時(shí)刻的偏轉(zhuǎn)電壓是0，所以電子做勻速直線運(yùn)動(dòng)．進(jìn)入磁場(chǎng)的速度仍然不變，則：
ev₀B=$m\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
所以：
r=$\frac{mv}{eB}$=$\frac{9×1{0}^{-31}×8.0×1{0}^{6}}{1.6×1{0}^{-19×}5×1{0}^{-4}}$=0.09m
（2）電子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)電子恰好從電場(chǎng)的邊緣射出電場(chǎng)時(shí)，偏轉(zhuǎn)電壓為U₂，有：
a=$\frac{e{U}_{2}}{md}$
y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$a•（$\frac{L}{{v}_{0}}$）²=$\frach2ubff7{2}$
聯(lián)立以上公式，并代入數(shù)據(jù)得：U₂=3.6V
結(jié)合U_FH=7.2sin2πt，可知，在第一秒內(nèi)，當(dāng)t=$\frac{1}{12}$s或t=$\frac{5}{12}$s時(shí)，電子從上極板的邊緣射出；
當(dāng)t=$\frac{7}{12}$s或t=$\frac{11}{12}$s時(shí)，電子從下極板的邊緣射出；
所以在0-$\frac{1}{12}$s、$\frac{5}{12}$s-$\frac{7}{12}$s、$\frac{11}{12}$s-1s的時(shí)間內(nèi)入射的電子內(nèi)射出電場(chǎng)，由于相同時(shí)間內(nèi)進(jìn)入的電子數(shù)目相同，則能從FH板射出的電子數(shù)與進(jìn)入FH板的電子數(shù)之比等于相應(yīng)的時(shí)間的比值，即：
$\frac{{n}_{FN}}{N}$=$\frac{\frac{1}{12}+\frac{2}{12}+\frac{1}{12}}{1}=\frac{1}{3}$
（3）電子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的過程中，電場(chǎng)力做正功，電子的動(dòng)能增加，由動(dòng)能定理得：
e•$\frac{{U}_{2}}{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得：v₁≈8.04×10⁶m/s
在磁場(chǎng)中的半徑：r₁=$\frac{m{v}_{1}}{eB}$
代入數(shù)據(jù)得：r₁≈0.09m
飛出電場(chǎng)時(shí)，速度偏轉(zhuǎn)角的正切為：
tanθ=2×$\frac{y}{x}=\frac{2×\frac1gqdhzj{2}}{L}$=0.1
電子射出磁場(chǎng)時(shí)的位移：△y=2r₁cosθ≈2×0.09×1=0.18m
由左手定則可知，電子在磁場(chǎng)中向上偏轉(zhuǎn)，所以射出磁場(chǎng)的最大位置：
y_max=△y+$\frac4f5wkfg{2}$=0.18+0.02=0.2m
以射出磁場(chǎng)的最小位置：y_min=△y-$\fracex18csd{2}$=0.18-0.02=0.16m
電子從磁場(chǎng)射出的位置坐標(biāo)y的范圍是：0.16m≤y≤0.2m
（4）沿x軸進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)電子經(jīng)過半個(gè)周期后射出磁場(chǎng)，偏轉(zhuǎn)180°，而從電場(chǎng)的邊緣進(jìn)入磁場(chǎng)的電子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，則縱坐標(biāo)y=2r=2×0.09m=0.18m：

由幾何關(guān)系可知，兩個(gè)圓與y軸的交點(diǎn)的切線之間的夾角等于從電場(chǎng)的邊緣進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)與x軸之間的夾角，為θ，所以兩條切線的交點(diǎn)距離y軸的距離為：
x=$\frac{2r-{y}_{min}}{tanθ}$=10×（2×0.3-0.16）=0.2m
所以若所有從磁場(chǎng)射出的電子好像都是從磁場(chǎng)中某一點(diǎn)沿直線射出來的一樣，該點(diǎn)的坐標(biāo)為（0.2m，0.18m）
答：（1）電子從N板小孔射出時(shí)速度的大小是8.0×10⁶m/s，t=0時(shí)刻進(jìn)入FH板的電子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是0.09m．
（2）從t=0時(shí)刻至T=1s時(shí)刻從FH板射入的電子中，從FH板射出的電子數(shù)與進(jìn)入FH板的電子數(shù)之比是1：3．
（3）電子從磁場(chǎng)射出的位置坐標(biāo)y的范圍是0.16m≤y≤0.2m．
（4）已知所有從磁場(chǎng)射出的電子好像都是從磁場(chǎng)中某一點(diǎn)沿直線射出來的一樣，該點(diǎn)的坐標(biāo)為（0.2m，0.18m）．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，涉及電子的加速、偏轉(zhuǎn)以及在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)，解答的關(guān)鍵是分析粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況，能夠結(jié)合電子的最大速度畫出粒子的臨界邊界，并結(jié)合幾何關(guān)系求出結(jié)果．