Question

9．如圖所示，光滑管形圓軌道半徑為R，質量為2m，固定于水平面上，小球a、b大小相同，質量均為m，其直徑略小于管徑，能在管中無摩擦運動，兩球通過最低點速度相同，均為v，且當小球a在最低點時，小球b在最高點，下列說法中正確的是（　�。�

• A． 若小球b在最高點對軌道無壓力，則此時小球a對軌道的壓力為6mg
• B． 若小球b在最高點對軌道無壓力，則此時小球a的速度v=$\sqrt{5gR}$
• C． 若小球a在最低點的速度v≥$\sqrt{5gR}$，則此時管形圓軌道對水平面的壓力為6mg
• D． 兩小球要能在管內做圓周運動，則速度v至少為$\sqrt{5gR}$

Answer 1

分析 要使小球能通過最高點，只要小球的速度大于零即可；而當向心力等于重力時，小球對軌道沒有壓力，由向心力公式可求得小球在最高點時速度；再由機械能守恒可求得小球在最低點時的速度，及最低點時所需要的向心力，即可求得最低點處壓力．

解答 解：AB、在最高點，當小球對軌道無壓力時，由重力提供向心力，則有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$；
解得：v₁=$\sqrt{gR}$；
由機械能守恒定律可得，mg•2R=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²；
求得小球在最低點時的速度v₂=$\sqrt{5gR}$，故最低點速度至少為$\sqrt{5gR}$，才能使兩球在管內做圓周運動；故AB正確．
C、若小球a在最低點的速度v≥$\sqrt{5gR}$時，小球a在最低點時，F(xiàn)_a=mg+m$\frac{{v}^{2}}{R}$；小球b在最高點受軌道作用力為
 F_b=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$-mg；由最低點到最高點的過程中，有
  2mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
聯(lián)立可得兩球對軌道壓力差為△F=6mg，所以管形圓軌道對水平面的壓力為F=2mg+△F=8mg，故C錯誤．
D、兩小球要能在管內做圓周運動，則小球至少要能到達最高點，由機械能守恒知
  2mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，即 v=2$\sqrt{gR}$，故D錯誤．
故選：AB

點評 小球在豎直面內的圓周運動，若是用繩拴著只有重力小于等于向心力時，小球才能通過；而用桿或在管內運動的小球，只要速度大于零，小球即可通過最高點．