Question

4．已知地球質量大約是月球質量的81倍，地球半徑大約是月球半徑的4倍．如圖所示，假設甲、乙兩個完全相同的斜面分別固定在地球和月球的水平地面上，將相同的小球從斜面上的同一點O處，以相同的初速度v₀沿水平方向拋出，分別落在甲、乙斜面上的M、N兩點（圖中未畫出），不計空氣阻力，不考慮地球、月球自轉的影響，由以上條件可知（　�。�

• A． 地球表面重力加速度與月球表面重力加速度之比為9：4
• B． 小球從拋出到落在M點的時間大于小球從拋出到落在N點的時間
• C． 靠近地球表面沿圓軌道運行的航天器的周期與靠近月球表面沿圓軌道運行的航天器的周期之比約為8：9
• D． 小球從拋出到落在M點與小球從拋出到落在N點的過程中，重力對小球做的功相同

Answer 1

分析 根據萬有引力等于重力，求出地球表面和月球表面的重力加速度之比．根據平拋運動的規(guī)律求出小球的時間關系．根據重力等于向心力，列式分析靠近地球和月球表示運行的航天器的周期之比．由W=mgh分析重力做功關系．

解答 解：A、根據在天體表面上，物體重力等于萬有引力，得 mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
得 g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
可得，地球表面重力加速度與月球表面重力加速度之比為 g_地：g_月=$\frac{G{M}_{地}}{{R}_{地}^{2}}$：$\frac{G{M}_{月}}{{R}_{月}^{2}}$=81：16，故A錯誤．
B、小球做平拋運動，將平拋運動分解為水平和豎直方向，設水平位移為x，豎直位移為y，根據幾何關系有
  tanθ=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$，得t=$\frac{2{v}_{0}tanθ}{g}$∝$\frac{1}{g}$，所以t_地：t_月=g_月：g_地=16：81，即小球從拋出到落在M點的時間小于小球從拋出到落在N點的時間，故B錯誤．
C、對于靠近天體的航天器，由mg=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R得 T=2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$
則得，靠近地球表面沿圓軌道運行的航天器的周期與靠近月球表面沿圓軌道運行的航天器的周期之比 T_地：T_月=2π$\sqrt{\frac{{R}_{地}}{{g}_{地}}}$：2π$\sqrt{\frac{{R}_{月}}{{g}_{月}}}$=8：9，故C正確．
D、重力所做的功為 W=mgh=mg（$\frac{1}{2}g{t}^{2}$）=$\frac{1}{2}m{g}^{2}$（$\frac{2{v}_{0}tanθ}{g}$）²=2mv₀²tan²θ，小球的質量相同，初速度相同，斜面θ相同，則重力對小球做的功相同．故D正確．
故選：CD

點評 本題將萬有引力定律和平拋運動綜合考查，關鍵是抓住重力近似等于萬有引力，來求出重力加速度之比，平拋運動根據運動的合成與分解處理．