Question

15．如圖所示，在xOy平面內(nèi)，有一個(gè)圓形區(qū)域，其直徑AB與x軸重合，圓心O′的坐標(biāo)為（2a，O），其半徑為a，該區(qū)域內(nèi)無磁場． 在y軸和直線x=3a之間的其他區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從y軸上某點(diǎn)射入磁場．不計(jì)粒子重力．
（1）若粒子從O點(diǎn)沿y正方向射入，要使粒子不進(jìn)入圓形區(qū)，求粒子速度應(yīng)滿足的條件；
（2）若粒子從y軸上某點(diǎn)射入磁場，不經(jīng)過圓形區(qū)域就能到達(dá)B點(diǎn)，求其速度的最小值；
（3）若粒子從y軸上某點(diǎn)射入磁場的初速度方向與y軸正向的夾角為45°，在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為△t=$\frac{πm}{2qB}$，且粒子也能到達(dá)B點(diǎn)，求粒子的初速度大小v₀．

Answer 1

分析 （1）粒子要不進(jìn)入圓形區(qū)，軌道直徑小于OA或者大于OB，得到臨界軌道半徑，根據(jù)推論公式r=$\frac{mv}{qB}$列式分析；
（2）根據(jù)推論公式r=$\frac{mv}{qB}$，速度最小則軌道半徑最小，臨界情況的軌跡是直徑為OB；
（3）根據(jù)△t=$\frac{α}{2π}T$列式求解速度偏轉(zhuǎn)角，粒子最后在非圓形的區(qū)域是做勻速直線運(yùn)動(dòng)，畫出軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系得到軌道半徑，根據(jù)牛頓第二定律得到初速度大�。�

解答 解：（1）由題意半徑應(yīng)該滿足r≤$\frac{a}{2}$或者r≥$\frac{3}{2}a$，
洛侖茲力提供向心力，故：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，故r=$\frac{mv}{qB}$，有v=$\frac{qBr}{m}$∝r，
可得v≤$\frac{qBa}{2m}$或v≥$\frac{3qBa}{2m}$；
（2）由題意半徑最小，速度最小，最小半徑2r_min=3a，
根據(jù)r=$\frac{mv}{qB}$，可得v=$\frac{3qBa}{2m}$；
（3）粒子在磁場中的周期T=$\frac{2πm}{qB}$；
故粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的圓心角θ=$\frac{△t}{T}×360°$=90°；
粒子到達(dá)B點(diǎn)的速度與x軸夾角為45°，軌跡如圖所示：

速度偏轉(zhuǎn)角為90°，設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為x₀，由幾何關(guān)系得到：x₀=$\sqrt{2}$a，
又qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{0}}$，得v₀=$\frac{\sqrt{2}qBa}{m}$；
答：（1）若粒子從O點(diǎn)沿y正方向射入，要使粒子不進(jìn)入圓形區(qū)，粒子速度應(yīng)滿足的條件為v≤$\frac{qBa}{2m}$或v≥$\frac{3qBa}{2m}$；
（2）若粒子從y軸上某點(diǎn)射入磁場，不經(jīng)過圓形區(qū)域就能到達(dá)B點(diǎn)，其速度的最小值為$\frac{3qBa}{2m}$；
（3）若粒子從y軸上某點(diǎn)射入磁場的初速度方向與y軸正向的夾角為45°，在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為△t=$\frac{πm}{2qB}$，且粒子也能到達(dá)B點(diǎn)，粒子的初速度大小v₀為$\frac{\sqrt{2}qBa}{m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系分析，要記住兩個(gè)推論公式r=$\frac{mv}{qB}$和T=$\frac{2πm}{qB}$．