Question

【題目】牛頓利用行星圍繞太陽的運(yùn)動(dòng)看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，借助開普勒三定律推導(dǎo)出兩物體間的引力與它們之間的質(zhì)量乘積成正比，與他們之間距離的平方成反比。牛頓思考月球繞地球運(yùn)行的原因時(shí)，蘋果的偶然落地引起了他的遐想：拉住月球使它圍繞地球運(yùn)動(dòng)的力與拉著蘋果下落的力，是否都與太陽吸引行星的力性質(zhì)相同，遵循著統(tǒng)一的規(guī)律——平方反比規(guī)律？因此，牛頓開始了著名的“月—地檢驗(yàn)”。

（1）在牛頓的時(shí)代，將行星圍繞太陽的運(yùn)動(dòng)看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。月球與地球質(zhì)心間的距離r、月球繞地球公轉(zhuǎn)的周期T等都能比較精確地測(cè)定，請(qǐng)你據(jù)此寫出計(jì)算月球公轉(zhuǎn)的向心加速度a的表達(dá)式；已知r≈3.84×108m，T≈2.36×106s，地面附近的重力加速度g＝9.80m/s2，請(qǐng)你根據(jù)這些數(shù)據(jù)估算比值；

（2）將月球繞地球運(yùn)動(dòng)也看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知月球與地球的距離約為地球半徑的60倍，如果牛頓的猜想正確，請(qǐng)你據(jù)此計(jì)算月球公轉(zhuǎn)的向心加速度a和蘋果下落的加速度g的比值；與（1）中的結(jié)果相比較，你能得出什么結(jié)論？

Answer 1

【答案】（1）；；（2）；結(jié)論見解析

【解析】

（1）月球與地球質(zhì)心間的距離r、月球繞地球公轉(zhuǎn)的周期T，月球公轉(zhuǎn)的向心加速度a，則有：

代入相關(guān)數(shù)據(jù)求得：

（2）設(shè)月球的質(zhì)量為，地球的質(zhì)量為，根據(jù)牛頓第二定律有：

設(shè)蘋果的質(zhì)量為m，地球的半徑為R，根據(jù)牛頓第二定律有：

由題意知：

聯(lián)立可得：

比較（1）中的結(jié)果，二者近似相等，由此可得出結(jié)論：牛頓的猜想是正確的，即地球?qū)υ虑虻囊�力，地面上的物體的重力，都與太陽吸引行星的力的性質(zhì)相同，遵循相同的規(guī)律，即——與平方成反比的規(guī)律。