Question

如圖所示，ABC是由折射率為2的某種透明物質(zhì)制成的直角三棱鏡橫截面（O為AB的中點(diǎn)），∠A=30°.一束光線在紙面內(nèi)從O點(diǎn)射入棱鏡，光線與AB面間的夾角為α.若不考慮光線在AB和BC面上的反射，則：

（1）若α=45°，請(qǐng)作出光路圖并標(biāo)明相應(yīng)角度.

（2）要使射入O點(diǎn)的光線能從AC面射出，夾角α（0°＜α＜90°＝應(yīng)滿足什么條件？結(jié)果可用反三角函數(shù)表示.

Answer 1

解析：（1）光線射向AB面的入射角i=45°，由折射定律有  =，解得r=30°

設(shè)該透明物質(zhì)的臨界角為C，則

sinC=，解得C=45°

光線射向AC面的入射角θ₁=90°-r=60°＞C，故發(fā)生全反射.

而θ₂=θ₁，故反射光線垂直于BC面從棱鏡射出，光路圖如下圖.

（2）由幾何關(guān)系可知，射向AC面的光線恰好發(fā)生全反射角r=15°，設(shè)此時(shí)α=α₁，則有

                                                           ①

解得α₁=90°-arcsin(sin15°)                                                 ②

當(dāng)α角為90°時(shí)，射向AC的光線入射角為30°，不會(huì)發(fā)生全反射，故要使射入O點(diǎn)的光線能從AC面射出，夾角α應(yīng)滿足90°-arcsin(2sin15°)＜α＜90°.                   ③