Question

【題目】在海上有一種浮桶式波浪發(fā)電燈塔，其原理如圖甲所示。浮桶內(nèi)的磁體通過支柱固定在暗礁上。密閉浮桶的內(nèi)置線圈與浮筒保持相對靜止，隨著波浪上下起伏，線圈相對于磁體沿豎直方向運(yùn)動，且始終處于磁場中。浮桶下部始終浸沒在海水中，且上部始終沒有進(jìn)入海水中，其外側(cè)圓周的橫截面積（如圖乙中陰影部分所示）為S。

（1）己知浸在海水中的浮桶受到豎直向上的浮力，浮力大小的表達(dá)式為F浮=ρgV排，其中海水的密度為ρ，g為重力加速度，V排為浮桶排開海水的體積。

a．忽略海水對浮桶的阻力，試證明浮桶在重力和浮力作用下的自由振動是簡諧運(yùn)動，并寫明回復(fù)力系數(shù)k的表達(dá)式；

b．若某次自由振動中的振幅為0.6m，周期為6s，且t=0時，浮桶位于振動的最低點(diǎn)，以向上為正方向，試寫出這次振動過程的位移表達(dá)式。

（2）已知海浪的周期始終為T=3.0s，海水的密度為ρ=103kg/m3。浮桶外側(cè)圓周的橫截面積（如圖乙中陰影部分所示）為S=0.20m2。內(nèi)置線圈的匝數(shù)N=200，固定磁體在線圈所處位置產(chǎn)生的輻向磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=0．20T，線圈直徑D=0.40m，總電阻r=1.0Ω，該線圈與阻值R=15Ω的燈泡相連。取重力加速度g=10m/s2，且π2=10。

a．已知浮筒作簡諧運(yùn)動的固有周期公式為，其中m為振子質(zhì)量，k為回復(fù)力系數(shù)。浮桶隨波浪上下運(yùn)動可視為受迫振動，當(dāng)浮桶及線圈的總質(zhì)量m為多大時，該浮桶式波浪發(fā)電機(jī)的發(fā)電功率達(dá)到最高？

b．若浮桶隨波浪上下運(yùn)動可視為受迫振動，振動的位移可表示為。試求此時燈泡的實際電功率P。

Answer 1

【答案】（1）a．見解析 b．（2）a．450kg；b．480W

【解析】(1)a.根據(jù)題意，設(shè)浮桶及線圈的總質(zhì)量為M，在水面平衡時，排開水的體積為V0，

Mg=ρgV0

設(shè)浮桶及線圈相對平衡位置的位移是x，

可得：F回=-F浮+Mg=-ρg（V0+Sx）+ρgV0=-ρgSx

考慮到簡諧運(yùn)動的特征：F回=-kx

可得回復(fù)力系數(shù)k=ρgS

b.簡諧運(yùn)動的位移表達(dá)式為

因

，

浮桶位于振動的最低點(diǎn)，以向上為正方向開始振動，則

故振動表達(dá)式為

(2)a.簡諧運(yùn)動的周期：

結(jié)合回復(fù)力系數(shù)k=ρgS，可得浮桶與線圈作簡諧運(yùn)動的固有周期

因驅(qū)動力周期時，波浪機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能的效率最高時，

解得m=450kg

b. 由振動的位移表達(dá)式，可得

發(fā)電的最大電動勢為

根據(jù)閉合電路歐姆定律，流過燈泡的電流為

電功率為：