Question

9．如圖所示，兩根足夠長(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ電阻不計(jì)，其間距為L(zhǎng)，兩導(dǎo)軌所構(gòu)成平面與水平面成θ角．兩根用長(zhǎng)為d的細(xì)線連接的金屬桿ab、cd分別垂直導(dǎo)軌放置，沿斜面向上的外力F作用在桿ab上，使兩桿靜止．已知兩金屬桿ab、cd的質(zhì)量分別為m和2m，兩金屬桿的電阻都為R，并且和導(dǎo)軌始終保持良好接觸，整個(gè)裝置處在垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．某時(shí)刻將細(xì)線燒斷，保持桿ab靜止不動(dòng)．
（1）cd桿沿導(dǎo)軌下滑，求其達(dá)到的最大速度v_m；
（2）當(dāng)cd桿速度v=$\frac{1}{2}{v_m}$時(shí)，求作用在ab桿上的外力F；
（3）若將細(xì)繩燒斷時(shí)記為t=0，從此時(shí)刻起使磁場(chǎng)隨時(shí)間變化，使abcd回路中無(wú)感應(yīng)電流產(chǎn)生，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化關(guān)系（寫(xiě)出B與t的關(guān)系式）；
（4）從細(xì)線燒斷到cd桿達(dá)到最大速度的過(guò)程中，桿ab產(chǎn)生的熱量為Q，求通過(guò)cd桿的電量．

Answer 1

分析 （1）cd桿做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)速度達(dá)到最大，應(yīng)用平衡條件可以求出桿的最大速度．
（2）由歐姆定律求出電路電流，ab桿保持靜止，應(yīng)用平衡條件可以求出拉力大小．
（3）當(dāng)穿過(guò)回路的磁通量保持不變時(shí)回路不產(chǎn)生剛電流，根據(jù)感應(yīng)電流產(chǎn)生的條件求出B隨t的變化關(guān)系．
（4）由法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律求出電流，根據(jù)電流定義式的變形公式可以求出電荷量．

解答 解：（1）當(dāng)cd桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度達(dá)到最大，由平衡條件得：
$2mgsinθ=\frac{{{B^2}{L^2}{v_m}}}{2R}$，
解得最大速度為：
${v_m}=\frac{4mgRsinθ}{{{B^2}{L^2}}}$；
（2）cd桿速度v=$\frac{1}{2}{v_m}$時(shí)，回路中感應(yīng)電流為：
$I=\frac{{\frac{1}{2}BL{v_m}}}{2R}=\frac{{BL{v_m}}}{4R}$，
ab桿保持靜止，由平衡條件可知：
F=mgsinθ+BIL，
解得：$F=mgsinθ+\frac{{{B^2}{L^2}{v_m}}}{4R}=2mgsinθ$；
（3）abcd回路中無(wú)感應(yīng)電流產(chǎn)生，cd桿沿斜面做勻加速下滑，加速度a=gsinθ，
經(jīng)過(guò)時(shí)間t下滑距離為：
$x=\frac{1}{2}a{t^2}=\frac{1}{2}gsinθ{t^2}$，
abcd回路中無(wú)感應(yīng)電流產(chǎn)生，即回路中磁通量沒(méi)有變化，所以φ₀=φ_t
即：BLd=B_tL（d+x），
解得：B_t=$\frac{2Bd}{2d+g{t}^{2}sinθ}$；
（4）設(shè)細(xì)線燒斷到cd桿達(dá)到最大速度下滑的距離為s，
由于兩桿電阻相等，所以產(chǎn)生電熱相等，克服安培力做的功W_F=2Q，
由動(dòng)能定理可知：$2mgssinθ-{W_F}=\frac{1}{2}•2mv_m^2$，
解得：$s=\frac{mv_m^2+2Q}{2mgsinθ}$，
通過(guò)cd桿的電量：q=$\overline{I}$t=$\frac{\overline{E}}{2R}$t=$\frac{\frac{BLs}{t}}{2R}$t=$\frac{BLs}{2R}$，
解得：$q=\frac{BL（mv_m^2+2Q）}{4mgRsinθ}=\frac{{4{m^2}gRsinθ}}{{{B^3}{L^3}}}+\frac{BLQ}{2mgRsinθ}$；
答：（1）cd桿沿導(dǎo)軌下滑，其達(dá)到的最大速度v_m為：$\frac{4mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）當(dāng)cd桿速度v=$\frac{1}{2}{v_m}$時(shí)，作用在ab桿上的外力F為2mgsinθ；
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化關(guān)系為：B_t=$\frac{2Bd}{2d+g{t}^{2}sinθ}$；
（4）通過(guò)cd桿的電量為：$\frac{4{m}^{2}gRsinθ}{{B}^{3}{L}^{3}}$+$\frac{BLQ}{2mgRsinθ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)中的力學(xué)問(wèn)題，綜合運(yùn)用電磁磁學(xué)知識(shí)和力平衡知識(shí)．關(guān)鍵要正確分析cd桿的運(yùn)動(dòng)情況，熟練求解安培力，把握能量如何轉(zhuǎn)化的．