Question

12．實(shí)驗(yàn)室常用電場和磁場來控制帶電粒子的運(yùn)動．在真空中A、C兩板之間加上電壓U，粒子被加速后從D點(diǎn)進(jìn)入圓形有界磁場；勻強(qiáng)磁場區(qū)域以O(shè)為圓心，半徑R=$\frac{\sqrt{3}}{10}m$，磁感應(yīng)強(qiáng)度B方向垂直紙面向外；其右側(cè)有一個(gè)足夠大的勻強(qiáng)電場，方向豎直向下，左邊界與圓形磁場邊界相切；現(xiàn)在電場區(qū)域放置一塊足夠長檔板GH，它與水平線FD夾角為60°（F點(diǎn)在檔板上，圓心O位于在FD上），且OF=3R，如圖所示．一比荷$\frac{q}{m}$=$\frac{1}{3}$×10⁶C/kg的帶正電粒子，從A板附近由靜止釋放，經(jīng)U=150V電壓加速后，從D點(diǎn)以與水平線成60°角射入磁場，離開圓形磁場時(shí)其速度方向與DF平行，最后恰好打在檔板上的F點(diǎn)．不計(jì)粒子重力，求
（1）粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度大小v_D；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（3）粒子到達(dá)F點(diǎn)時(shí)的速度大小v_F；
（4）不改變其他條件，逐漸增大勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度，要使粒子仍能打到擋板上，求所加電場場度的
最大值．

Answer 1

分析 （1）對在加速電場中的加速過程根據(jù)動能定理列式求解v_D；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，作出運(yùn)動的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系得到軌道半徑，然后運(yùn)用洛倫茲力等于向心力列式求解；
（3）粒子在偏轉(zhuǎn)電場中做類似平拋運(yùn)動，根據(jù)分運(yùn)動公式列式求解末速度；
（4）臨界條件是粒子打在極板上時(shí)速度方向與GH平行，結(jié)合分運(yùn)動公式和幾何關(guān)系列式分析即可．

解答 解：（1）粒子在電壓為U的加速電場中，由動能定理，有：qU=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：${v}_{D}=1×1{0}^{4}m/s$
（2）分析知，粒子在有界磁場中做圓周運(yùn)動的圓心N恰好在圓周上，從M點(diǎn)水平射出磁場，設(shè)軌跡如圖：

由此得到圓周運(yùn)動半徑為：$r=\sqrt{3}R=0.3m$
根據(jù)q${v}_{D}B=m\frac{{v}_{D}^{2}}{r}$，
代入數(shù)據(jù)解得：B=0.1T
（3）粒子進(jìn)入電場（MF）后做類似平拋運(yùn)動，

水平分位移：
x=2R=$\frac{\sqrt{3}}{5}m$
豎直分位移：y=Rsin60°=0.15m
又x=v_Dt，y=$\frac{{v}_{y}}{2}t$，v=$\sqrt{{v}_{D}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
代入解得：v=$\frac{\sqrt{7}×1{0}^{4}}{2}m/s=1.3×1{0}^{4}m/s$
（4）當(dāng)電場強(qiáng)度取到最大值E時(shí)，臨界條件是粒子打到板上時(shí)軌道恰好與板面相切，即速度方向沿板GH，如圖，

由類似平拋運(yùn)動的規(guī)律，粒子的速度反向延長線交水平位移的中點(diǎn)（Q），有MQ=QR
又$MQ=2R-r/2tan60°=0.15\sqrt{3}m$
根據(jù)x=0.3$\sqrt{3}$=v_Dt，v_y=at，
又v_y=v_Dtan60°，
a=$\frac{qE}{m}$
聯(lián)立解得：E=1000V/m
答：（1）粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度大小為1×10⁴m/s；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為0.1T；
（3）粒子到達(dá)F點(diǎn)時(shí)的速度大小為1.3×10⁴m/s；
（4）不改變其他條件，逐漸增大勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度，要使粒子仍能打到擋板上，所加電場場度的最大值為1000V/m．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是明確粒子的受力情況和運(yùn)動情況，分直線加速、勻速圓周運(yùn)動和類似平拋運(yùn)動過程進(jìn)行研究，要結(jié)合動能定理、牛頓第二定律、分運(yùn)動公式列式求解，同時(shí)要畫出運(yùn)動軌跡并結(jié)合幾何關(guān)系確定圓軌道半徑和類似平拋運(yùn)動的分位移關(guān)系．