Question

13．如圖所示，一固定斜面體，其斜邊與水平底邊的夾角θ=37°，BC為一段光滑圓弧軌道，DE為半圓形光滑軌道，兩圓弧軌道均固定于豎直平面內(nèi)，一滑板靜止在光滑的地面上，右端緊靠C點(diǎn)，上表面所在平面與兩圓弧分別相切于C、D兩點(diǎn)．一物塊被輕放在斜面上F點(diǎn)由靜止釋放，物塊離開(kāi)斜面后恰好在B點(diǎn)沿切線進(jìn)入BC段圓弧軌道，再經(jīng)C點(diǎn)滑上滑板，滑板運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)被牢固粘連．物塊可視為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，滑板質(zhì)量M=2m，DE半圓弧軌道和BC圓弧軌道的半徑均為R，斜面體水平底邊與滑板上表面的高度差H=2R，板長(zhǎng)l=6.5R，板左端到D點(diǎn)的距離L在R＜L＜5R范圍內(nèi)取值，F(xiàn)點(diǎn)距A點(diǎn)的距離s=12.5R，物塊與斜面、物塊與滑板間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5，重力加速度取g．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：（結(jié)果用字母m、g、R、L表示）
（1）求物塊滑到A點(diǎn)的速度大�。�
（2）求物塊滑到C點(diǎn)時(shí)所受圓弧軌道的支持力的大�。�
（3）試討論物塊從滑上滑板到離開(kāi)左端的過(guò)程中，克服摩擦力做的功W_f與L的關(guān)系；并判斷物塊能否滑到DE軌道的中點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）滑塊從靜止滑到A點(diǎn)過(guò)程，應(yīng)用動(dòng)能定理可以求出到達(dá)A點(diǎn)的速度．
（2）由機(jī)械能守恒定律求出滑塊到達(dá)C點(diǎn)的速度，然后應(yīng)用牛頓第二定律求出支持力．
（3）應(yīng)用動(dòng)量定理與動(dòng)能定理求出滑塊與滑板的位移，然后判斷兩者共速時(shí)的位置關(guān)系，然后應(yīng)用動(dòng)能定理分析答題．

解答 解：（1）設(shè)物塊滑到A點(diǎn)的速度大小為v₁，根據(jù)動(dòng)能定理有：
$mgsinθ×12.5R-μmgcosθ×12.5R=\frac{1}{2}m{v_1}^2$，
解得：${v_1}=\sqrt{5gR}$；
（2）設(shè)物塊滑到C點(diǎn)的速度大小為v₂，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}m{v_2}^2=mg•2R+\frac{1}{2}m{v_1}^2$，
解得：${v_2}=3\sqrt{gR}$，
根據(jù)牛頓第二定律有：${F_N}-mg=m\frac{{{v_2}^2}}{R}$，
解得：${F_N}=m\frac{{{v_2}^2}}{R}+mg=10mg$；
（3）物塊從C滑上滑板后開(kāi)始作勻減速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)滑板開(kāi)始作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物塊與滑板達(dá)共同速度v₃時(shí)，二者開(kāi)始作勻速運(yùn)動(dòng)．
由動(dòng)量定理得：mv₂=（m+M）v₃，
解得：${v_3}=\sqrt{gR}$，
對(duì)物塊，根據(jù)動(dòng)能定理有：$-μmg{l_1}=\frac{1}{2}m{v_3}^2-\frac{1}{2}m{v_2}^2$，
對(duì)滑板，根據(jù)動(dòng)能定理有：$μmg{l_2}=\frac{1}{2}M{v_3}^2-0$，
解得：l₁=8Rl₂=2R，
物塊相對(duì)滑板的位移：△l=l₂-l₁＜l，
即物塊與滑板在達(dá)到相同共同速度時(shí)，物塊未離開(kāi)滑板．
討論：
①當(dāng)R＜L＜2R，物塊在滑板上一直勻減速運(yùn)動(dòng)至D，運(yùn)動(dòng)的位移為6.5R+L，
克服摩擦力做的功：${W_f}=μmg（{6.5R+L}）=\frac{1}{4}mg（{13R+2L}）$，
設(shè)滑上D點(diǎn)的速度為v_D，根據(jù)動(dòng)能定理有：
$-μmg（{6.5R+L}）=\frac{1}{2}m{v_D}^2-\frac{1}{2}m{v_2}^2$，
解得 $\frac{1}{2}m{v_D}^2=\frac{1}{2}mg（{2.5R-L}）＜mgR$，
所以物塊不可能滑到DE軌道的中點(diǎn)．
②當(dāng)2R≤L＜5R，物塊先勻減速運(yùn)動(dòng)8R，然后勻速運(yùn)動(dòng)L-2R，再勻減速運(yùn)動(dòng)0.5R，
克服摩擦力做的功：${W_f}=μmg（{8R+0.5R}）=\frac{17}{4}mgR$，
設(shè)滑上D點(diǎn)的速度為${v_D}^′$，根據(jù)動(dòng)能定理有：
$-μmg（{8R+0.5R}）=\frac{1}{2}m{v_D}{^′^2}-\frac{1}{2}m{v_2}^2$，
解得：$\frac{1}{2}m{v_D}{^′^2}=\frac{1}{4}mgR＜mgR$，
所以物塊不可能滑到DE軌道的中點(diǎn)．
答：（1）物塊滑到A點(diǎn)的速度大小為$\sqrt{5gR}$；
（2）物塊滑到C點(diǎn)時(shí)所受圓弧軌道的支持力的大小為10mg；
（3）克服摩擦力做的功W_f與L的關(guān)系：①當(dāng)R＜L＜2R時(shí)，W_f=$\frac{1}{4}$mg（13R+2L），物塊不可能滑到DE軌道的中點(diǎn)；②當(dāng)2R≤L＜5R時(shí)，W_f=$\frac{17}{4}$mgR，物塊不可能滑到DE軌道的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道力學(xué)綜合題，主要考查了動(dòng)能定理的應(yīng)用，物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程復(fù)雜，本題難度較大，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用動(dòng)能定理、牛頓第二定律、功的計(jì)算公式可以解題．