Question

5．地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a；假設月球繞地球作勻速圓周運動，軌道半徑為r₁，向心加速度為a₁．已知萬有引力常量為G，地球半徑為R．下列說法中正確的是（　�。�

• A． 地球質(zhì)量M=$\frac{a{R}^{2}}{G}$
• B． 地球密度ρ=$\frac{3{a}_{1}{r}_{1}^{2}}{4πG{R}^{3}}$
• C． 地球的第一宇宙速度為$\sqrt{aR}$
• D． 向心加速度之比$\frac{{a}_{1}}{a}$=$\frac{{R}^{2}}{{η}^{2}}$

Answer 1

分析 根據(jù)月球繞地球的軌道半徑和向心加速度，結(jié)合萬有引力提供向心力求出地球的質(zhì)量，從而結(jié)合地球的體積求出地球的密度．根據(jù)萬有引力提供向心力求出地球的第一宇宙速度．

解答 解：A、根據(jù)$G\frac{Mm}{{{r}_{1}}^{2}}=m{a}_{1}$得，地球的質(zhì)量M=$\frac{{a}_{1}{{r}_{1}}^{2}}{G}$，故A錯誤．
B、地球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{{a}_{1}{{r}_{1}}^{2}}{G}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3{a}_{1}{{r}_{1}}^{2}}{4πG{R}^{3}}$，故B正確．
C、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得，地球的第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{{a}_{1}{{r}_{1}}^{2}}{R}}$，故C錯誤．
D、赤道上物體靠萬有引力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)題目條件無法求出向心加速度之比．故D錯誤．
故選：B．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，并能靈活運用，知道第一宇宙速度等于貼近星球表面做勻速圓周運動的速度．