Question

11．如圖，從陰極K發(fā)射的熱電子，重力和初速均不計(jì)，通過加速電場(chǎng)后，沿圖示虛線垂直射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)，磁場(chǎng)區(qū)域足夠長(zhǎng)，寬度為L(zhǎng)=2.5cm．已知加速電壓為U=182V，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=9.1×10^-4T，電子的電量e=1.6×10^-19，電子質(zhì)量m=9.1×10^-31kg．
求：（1）電子進(jìn)入磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)速度
（2）電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)半徑R和時(shí)間t（結(jié)果保留π）
（3）若加速電壓大小可以改變，其他條件不變，為使電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，加速電壓U應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）應(yīng)用動(dòng)能定理電子解出穿出電場(chǎng)時(shí)的速度．
（2）電子進(jìn)入磁場(chǎng)后發(fā)生偏轉(zhuǎn)，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑R．先根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求得電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期T．畫出軌跡，由幾何知識(shí)求出電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角θ，由t=$\frac{θ}{2π}$T求解在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t．
（3）為使電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，電子軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角必須最大，最大圓心角為180°，軌跡恰好與磁場(chǎng)右邊界相切，求得軌跡半徑，根據(jù)上題的結(jié)果即可求解．

解答 解：（1）加速電場(chǎng)中由動(dòng)能定理得：
 eU=$\frac{1}{2}$mv²-0，
代入數(shù)據(jù)解得：v=8×10⁶m/s；
（2）磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：
 evB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得：R=0.05m，
電子磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2π×0.05}{8×1{0}^{6}}$=$\frac{π}{8}$×10^-7s，
由幾何關(guān)系 sinθ=$\frac{L}{R}$=$\frac{2.5cm}{5cm}$=$\frac{1}{2}$，
得：θ=30°，
故電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=$\frac{30°}{360°}$T=$\frac{1}{12}$T=$\frac{π}{96}$×10^-7s；
（3）電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)時(shí)，圓心角 θ=180°
當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡恰與磁場(chǎng)右界相切時(shí)，R=L=2.5cm=0.025m
依題意有：R≤0.025m
由 R=$\frac{mv}{eB}$，v=$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$
解得：U=$\frac{e{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$，
代入解得：U≤45.5V
答：（1）電子進(jìn)入磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)速度是8×10⁶m/s．
（2）電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑R是0.05m，電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t是$\frac{π}{96}$×10^-7s．
（3）為使電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，加速電壓U應(yīng)滿足的條件是：U≤45.5V．

點(diǎn)評(píng) 電子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題也可以用牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解．
電子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題，我們要從定圓心，找半徑，畫軌跡這些步驟入手，根據(jù)題意找出可能出現(xiàn)的情況去研究．其中圓周半徑R是橋梁，一方面聯(lián)系了m、v、B、q物理量，另一方面聯(lián)系了圖中的幾何關(guān)系．