Question

3．如圖所示，兩物塊A和B的質(zhì)量均為m，兩輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)分別為k₁和k₂，上端彈簧分別與物塊A和B拴接，下端彈簧的上端與物塊B拴接，下端與地面接觸但不拴接，輕繩跨過光滑定滑輪Q與A和一輕質(zhì)小桶P相連，此時A和B均靜止．現(xiàn)緩慢地向小桶P內(nèi)加人細砂，當下端彈簧剛要離開地面時．重力加速度為g．求：
（1）小桶P內(nèi)所加人的細砂質(zhì)量m_砂；
（2）小桶下降的高度h．

Answer 1

分析 （1）當下端彈簧剛要離開地面時，上面一根彈簧對B的拉力恰好等于B的重力，對A受力分析求出繩子的拉力，再對P受力分析，根據(jù)細砂的重力等于繩子的拉力求解細沙的質(zhì)量；
（2）系統(tǒng)原來處于平衡狀態(tài)，兩個彈簧均被壓縮，彈簧k₂的彈力等于兩物體的總重力．緩慢地向小桶P內(nèi)加人細砂，直到B剛離開上面彈簧時彈簧k₂的彈力等于m₂g，根據(jù)胡克定律分別求出下面彈簧兩種狀態(tài)下壓縮的長度以及后來上面彈簧的伸長量，進而求出h．

解答 解：（1）當下端彈簧剛要離開地面時，上面一根彈簧對B的拉力恰好等于B的重力，即F_彈=mg，
此時A受力平衡，對A受力分析，根據(jù)平衡條件得繩子拉力為：T=mg+F_彈=2mg，
P受力平衡，則細砂的重力等于繩子的拉力，根據(jù)平衡條件得：m_砂g=T，
解得：m_砂=2m
（2）沒有向小桶P內(nèi)加人細砂時，兩根彈簧都處于壓縮狀態(tài)，根據(jù)胡克定律得：
上端彈簧的壓縮量${x}_{1}=\frac{mg}{{k}_{2}}$，
下端彈簧的壓縮量${x}_{2}=\frac{2mg}{{k}_{1}}$，
當下端彈簧剛要離開地面時，下端彈簧回復(fù)原長，
上端彈簧的伸長量${x}_{3}=\frac{mg}{{k}_{2}}$，
則小桶下降的高度為：h=${h}_{1}+{h}_{2}+{h}_{3}=\frac{2mg}{{k}_{2}}+\frac{2mg}{{k}_{1}}$．
答：（1）小桶P內(nèi)所加人的細砂質(zhì)量m_砂為2m；
（2）小桶下降的高度h為$\frac{2mg}{{k}_{2}}+\frac{2mg}{{k}_{1}}$．

點評 對于彈簧問題，往往先分析彈簧原來的狀態(tài)，再分析變化后彈簧的狀態(tài)，找出物體移動距離與彈簧形變之間的關(guān)系．