Question

3．如圖所示，A為太陽系中的天王星，它繞太陽O運(yùn)行可視為做軌道半徑為R₀，周期為T₀的勻速圓周運(yùn)動．天文學(xué)家經(jīng)長期觀測發(fā)現(xiàn)，天王星實(shí)際運(yùn)動的軌道與圓軌道總有一些偏離，且每隔t₀時間發(fā)生一次最大偏離，形成這種現(xiàn)象的原因是天王星外側(cè)還存在著另一顆行星B，假設(shè)行星B與A在同一平面內(nèi)，且與A的繞行方向相同，繞O作勻速圓周運(yùn)動，它對天王星的萬有引力導(dǎo)致了天王星軌道的偏離，由此可推測行星B的運(yùn)動軌道半徑是（　　）

• A． $\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}$R₀
• B． R₀$\sqrt{（\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}）^{3}}$
• C． R₀$\root{3}{（\frac{{t}_{0}-{T}_{0}}{{t}_{0}}）^{2}}$
• D． R₀$\root{3}{（\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}）^{2}}$

Answer 1

分析 A行星實(shí)際運(yùn)動的軌道與圓軌道總有一些偏離，且周期每隔t₀時間發(fā)生一次最大偏離，知每隔t₀時間A、B兩行星相距最近，可以求出B的周期，再根據(jù)萬有引力提供向心力，得出軌道半徑．

解答 解：周期每隔t₀時間發(fā)生一次最大偏離，知每隔t₀時間A、B兩行星相距最近，即每隔t₀時間A行星比B行星多運(yùn)行一圈．有：
$\frac{2π}{{T}_{0}}{t}_{0}-\frac{2π}{{T}_{B}}{t}_{0}=2π$，
則T_B=$\frac{{t}_{0}{T}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}$，
根據(jù)萬有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr（\frac{2π}{T}）^{2}$，
r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{{4π}^{2}}}$，
所以r_B=R₀$\root{3}{{（\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}）}^{2}}$，故D正確．
故選：D

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵知道每隔t₀時間發(fā)生一次最大偏離，知每隔t₀時間A、B兩行星相距最近，而得出每隔t₀時間A行星比B行星多運(yùn)行一圈．以及會利用萬有引力提供向心力：