Question

7．如圖所示，光滑弧形軌道與半徑為r的光滑圓軌道相連，固定在同一個豎直面內，將一個小球從傾斜軌道某處無初速釋放．

（1）若小球剛好能夠到達圓軌道的最高點A，求釋放處離地高度h₁．
（2）若小球到達最高點A時對軌道的壓力等于其重力，求釋放處離地高度h₂．

Answer 1

分析 （1）由豎直平面內的圓周運動的臨界條件可求得最高點的速度；再由動能定理可求得h的高度；
（2）最高點處對小球受力分析，由向心力公式可求得小球的速度；再由動能定理即可求得高度．

解答 解：（1）小球剛好不脫離圓軌，在最高點由牛頓第二定律得：$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$①
小球由斜軌至圓軌最高點過程，由動能定理得：mg（h-2R）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$②
聯(lián)立①②解得：h=2.5R
（2）在最高點對小球由牛頓第二定律得：F_N+mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$③
又有：F_N=mg④
小球由斜軌至圓軌最高點過程，由動能定理得：mg（h-2R）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$⑤
聯(lián)立③④⑤解得：h=3R；
答：（1）若小球剛好能夠到達圓軌道的最高點A，釋放處離地高度是2.5R．
（2）若小球到達最高點A時對軌道的壓力等于其重力，釋放處離地高度是3R．

點評 本題考查動能定理及向心力公式的應用，要注意明確豎直平面內做圓周運動時，最高點時重力應全部充當向心力．