Question

6．如圖所示，直角坐標(biāo)系xOy的y軸右側(cè)有一寬為d的無(wú)限長(zhǎng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小未知，方向垂直紙面向外，y軸左側(cè)有一個(gè)半徑也為d的有界圓形磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，圓心O₁在x軸上，OO₁=2d，一個(gè)帶正電粒子以初速度v由A點(diǎn)沿AO₁方向（與水平方向成60°角）射入圓形磁場(chǎng)并恰好從O點(diǎn)進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)，從右邊界MN上C點(diǎn)（沒(méi)畫出）穿出時(shí)與水平方向成30°角，不計(jì)粒子重力，求：
（1）粒子的比荷；
（2）右側(cè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）粒子從A到C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出粒子在圓形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑公式，結(jié)合幾何關(guān)系求出半徑，從而得出比荷
（2）在右側(cè)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，再用半徑公式求出B'
（3）算出粒子在各段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，在磁場(chǎng)中時(shí)間$t=\frac{θ}{2π}T$

解答 解：（1）畫出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，在圓形磁場(chǎng)中，根據(jù)幾何關(guān)系有：
$tan30°=\fracbqimult{R}$
解得：$R=\sqrt{3}d$
在磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：
$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
$R=\frac{mv}{qB}$
聯(lián)立以上各式有：$\frac{q}{m}=\frac{\sqrt{3}v}{3Bd}$
（2）在右側(cè)磁場(chǎng)中，圓心角為30°，根據(jù)$sin30°=\fracybxds65{R′}$
R′=2d
$R′=\frac{mv}{qB′}$
解得：$B′=\frac{mv}{2qd}=\frac{v}{2d\frac{\sqrt{3}v}{3Bd}}=\frac{\sqrt{3}}{2}B$
（3）圓形磁場(chǎng)中有：${t}_{1}^{\;}=\frac{60°}{360°}T=\frac{1}{6}\frac{2πR}{v}$
代入數(shù)據(jù)解得：${t}_{1}^{\;}=\frac{\sqrt{3}πd}{3v}$
無(wú)磁場(chǎng)區(qū)有：${t}_{2}^{\;}=\fracn8mt5kr{v}$
右側(cè)磁場(chǎng)有：${t}_{3}^{\;}=\frac{30°}{360°}T′=\frac{1}{12}T′=\frac{1}{12}\frac{2πR′}{v}$
解得：${t}_{3}^{\;}=\frac{πd}{3v}$
所以粒子從A到C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}$=$\fraccerpvfv{v}（\frac{\sqrt{3}π}{3}+1+π）$
答：（1）粒子的比荷$\frac{\sqrt{3}v}{3Bd}$；
（2）右側(cè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度$\frac{\sqrt{3}}{2}B$；
（3）粒子從A到C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間$\frackur1tcb{v}（\frac{\sqrt{3}π}{3}+1+π）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，關(guān)鍵是畫出運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖，結(jié)合幾何關(guān)系求解半徑，同時(shí)能知道半徑公式和周期公式．