Question

如圖甲所示，在xoy坐標(biāo)平面內(nèi)，第一象限有垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度恒為B₀的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（MN為磁場(chǎng)區(qū)域的右邊界，且與x軸垂直）；第二象限的平行板電容器與y軸平行放置，與電容器兩極板相連、面積為S的圓形單匝金屬線圈內(nèi)有方向垂直紙面向外，大小按圖乙所示均勻變化的磁場(chǎng)，磁場(chǎng)在t₀時(shí)間內(nèi)從零開(kāi)始增大到B₀；第四象限存在場(chǎng)強(qiáng)為E₀、方向沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一電量為-q，質(zhì)量為m的粒子（不計(jì)重力）從電容器左極板附近由靜止開(kāi)始被加速，從右極板小孔P射出后垂直y軸進(jìn)入磁場(chǎng)，之后又恰能垂直x軸進(jìn)入電場(chǎng)．求：
（1）電容器兩板間的電勢(shì)差多大？
（2）粒子第一次到達(dá)x軸時(shí)離O點(diǎn)的距離．
（3）若粒子恰能垂直MN穿出磁場(chǎng)，粒子從y軸進(jìn)入磁場(chǎng)到由MN穿出磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間是多長(zhǎng)？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，可求出電容器兩板間的電勢(shì)差；
（2）粒子在電場(chǎng)中加速，根據(jù)動(dòng)能定理列出加速電壓與速度的關(guān)系；再由洛倫茲力提供向心力，列出等式，從而求出運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑，即為粒子第一次到達(dá)x軸時(shí)離O點(diǎn)的距離；
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)n個(gè)半圓，由周期公式可求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間；粒子在電場(chǎng)中往返運(yùn)動(dòng)2n次，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求出粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，兩者之和即粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答：解：（1）由法拉第電磁感應(yīng)定律得：
 E=

△?

△t

        
則產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)即為兩板間電壓 U=E=

△B

△t

S=

B0

t0

S
（2）粒子在平行板間被加速：qU=

1

2

mv2    
在磁場(chǎng)中，洛侖茲力提供向心力 B0qv=m

v2

r

    
得r=

2Sm B0tq

（3）若粒子恰能垂直MN穿出磁場(chǎng)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)n個(gè)半圓，在電場(chǎng)中往返2n次，
設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₁，則：

t1=n T 2 T= 2πm qB0

       n≥1．
解得   t1=

nπm

qB0

設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)總時(shí)間t₂，則：
由牛頓第二定律：a=

E0q

m

      
 粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t2=2n

v

a

      
則有：t2=

2n

E0

2SmB0 qt0

粒子從入磁場(chǎng)到出磁場(chǎng)的總時(shí)間t_總：
  t_總=t₁+t₂=

nπm

qB0

+

2n

E0

2SmB0 qt0

     （ n≥1  ）
答：（1）電容器兩板間的電勢(shì)差

B0

t0

S；
（2）粒子第一次到達(dá)x軸時(shí)離O點(diǎn)的距離

2Sm B0tq

；
（3）若粒子恰能垂直MN穿出磁場(chǎng)，粒子從y軸進(jìn)入磁場(chǎng)到由MN穿出磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間是 

nπm

qB0

+

2n

E0

2SmB0 qt0

     （ n≥1  ）

點(diǎn)評(píng)：考查法拉第電磁感應(yīng)定律、動(dòng)能定理、牛頓第二定律、向心力公式、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式等基本規(guī)律，注意粒子恰能垂直進(jìn)入磁場(chǎng)，又垂直進(jìn)入電場(chǎng)，最后又垂直穿出磁場(chǎng)，從而確定粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡是半圓的整數(shù)倍；同時(shí)粒子在電場(chǎng)中要往返運(yùn)動(dòng)．