Question

如圖所示存在范圍足夠大的磁場(chǎng)區(qū)，虛線OO′為磁場(chǎng)邊界，左側(cè)為豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁，右側(cè)為豎直向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₂的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)，B₁=B₂=B．有一質(zhì)量為m且足夠長(zhǎng)的U形金屬框架MNPQ平放在光滑的水平面上，框架跨過(guò)兩磁場(chǎng)區(qū)，磁場(chǎng)邊界OO′與框架的兩平行導(dǎo)軌MN、PQ垂直，兩導(dǎo)軌相距L，一質(zhì)量也為m的金屬棒垂直放置在右側(cè)磁場(chǎng)區(qū)光滑的水平導(dǎo)軌上，并用一不可伸長(zhǎng)的繩子拉住，繩子能承受的最大拉力是F₀，超過(guò)F₀繩子會(huì)自動(dòng)斷裂，已知棒的電阻是R，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，t=0時(shí)刻對(duì)U形金屬框架施加水平向左的拉力F讓其從靜止開(kāi)始做加速度為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．
（1）求在繩未斷前U形金屬框架做勻加速運(yùn)動(dòng)t時(shí)刻水平拉力F的大��；繩子斷開(kāi)后瞬間棒的加速度．
（2）若在繩子斷開(kāi)的時(shí)刻立即撤去拉力F，框架和導(dǎo)體棒將怎樣運(yùn)動(dòng)，求出它們的最終狀態(tài)的速度．
（3）在（2）的情景下，求出撤去拉力F后棒上產(chǎn)生的電熱和通過(guò)導(dǎo)體棒的電量．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和牛頓第二定律求解．
（2）以后框架減速，棒向右加速，當(dāng)兩者速度大小相等時(shí)回路磁通量不再變化，一起勻速運(yùn)動(dòng)．由于框架和棒都是受安培力作用，且質(zhì)量相等，所以任意時(shí)刻加速度大小相等．
（3）去拉力F后系統(tǒng)動(dòng)能減少等于回路消耗電能，根據(jù)能量守恒定律求解．

解答：解：（1）t=0時(shí)刻對(duì)U形金屬框架施加水平向左的拉力F讓其從靜止開(kāi)始做加速度為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．
對(duì)框架　v=at
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv=BLat
安培力　F_安=BIL=

B2L2at

R

根據(jù)牛頓第二定律得
F-F_安=ma
F=F_安+ma=ma+

B2L2at

R

繩子斷開(kāi)時(shí)刻繩子拉力　F₀=F_安
棒的加速度a=

F安

m

=

F0

m

（2）繩子斷裂時(shí)刻F₀=

B2L2at

R

　t=

F0R

B2L2a

框架速度v₀=at=

F0R

B2L2

以后框架減速，棒向右加速，當(dāng)兩者速度大小相等時(shí)回路磁通量不再變化，一起勻速運(yùn)動(dòng)．由于框架和棒都是受安培力作用，且質(zhì)量相等，所以任意時(shí)刻加速度大小相等，相等時(shí)間內(nèi)速度變化的大小也相等，最終速度都是v，
v₀-v=v-0，
v=

v0

2

=

F0R

2B2L2

框架向左勻速，棒向右勻速．
（3）撤去拉力F后系統(tǒng)動(dòng)能減少等于回路消耗電能，即棒上產(chǎn)生電熱
Q=

1

2

m

v

2 0

-(

1

2

mv2+

1

2

mv2)=

1

4

mv

2 0

=

m F 2 0 R2

4B4L4

對(duì)棒　F_安=BIL=ma
a=

BIL

m

△t時(shí)間速度變化△v=a△t=

BIL

m

△t=

BL

m

△q 
速度由零增加到v過(guò)程
v=

BL

m

q=

v2

2

=

F0R

2B2L2

q=

mF0R

2B3L3

答：（1）在繩未斷前U形金屬框架做勻加速運(yùn)動(dòng)t時(shí)刻水平拉力F的大小是ma+

B2L2at

R

，繩子斷開(kāi)后瞬間棒的加速度是

F0

m

．
（2）若在繩子斷開(kāi)的時(shí)刻立即撤去拉力F，框架和導(dǎo)體棒將怎樣運(yùn)動(dòng)，它們的最終狀態(tài)是框架向左勻速，棒向右勻速．
（3）在（2）的情景下，撤去拉力F后棒上產(chǎn)生的電熱是

m F 2 0 R2

4B4L4

，通過(guò)導(dǎo)體棒的電量是

mF0R

2B3L3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了法拉第電磁感應(yīng)定律、牛頓第二定律、能量守恒定律等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，要注意的是該題中框架NP和金屬棒所在的磁場(chǎng)方向相反，從而所受安培力方向相同．