Question

（2011?溫州模擬）如圖所示，半徑為r、圓心為O₁的虛線所圍的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)右側(cè)有一豎直放置的平行金屬板C和D，兩板間距離為L(zhǎng)，在MN板中央各有一個(gè)小孔O₂、O₃．O₁、O₂、O₃在同一水平直線上，兩根足夠長(zhǎng)的直金屬導(dǎo)軌MN、PQ平行放置在傾角為θ的絕緣斜面上，兩導(dǎo)軌間距也為L(zhǎng)．M、P兩點(diǎn)間接有阻值為R的電阻．一根質(zhì)量為M的均勻直金屬桿ab放在兩導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直，閉合回路（導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒的電阻不計(jì)）．整套裝置處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場(chǎng)方向垂直于斜面向上．整個(gè)裝置處在真空室中，有一電荷量為+q、質(zhì)量為m的粒子（重力不計(jì)），以速率v₀從圓形磁場(chǎng)邊界上的最低點(diǎn)E沿半徑方向射入圓形磁場(chǎng)區(qū)域，最后從小孔O₃射出．現(xiàn)釋放導(dǎo)體棒ab，其沿著斜面下滑h后開始勻速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)仍然從E點(diǎn)沿半徑方向射入圓形磁場(chǎng)區(qū)域的相同粒子恰好不能從O₃射出，而從圓形磁場(chǎng)的最高點(diǎn)F射出．求：
（1）圓形磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B′．
（2）導(dǎo)體棒的質(zhì)量M．
（3）棒下落h的整個(gè)過程中，導(dǎo)體棒ab克服安培力做的功為多少？

Answer 1

分析：（1）在圓形磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系結(jié)合洛侖茲力提供向心力公式求解．
（2）粒子恰好不能從O₃射出的條件是到達(dá)O₃速度是零，根據(jù)動(dòng)能定理列出等式．導(dǎo)體棒ab做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)平衡條件求解．
（3）導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律表示出速度，安培力做功量度其他形式的能量轉(zhuǎn)化為電能的多少，棒下落h的整個(gè)過程中導(dǎo)體棒ab重力勢(shì)能減小，轉(zhuǎn)化成動(dòng)能和電能．根據(jù)能量守恒求解．

解答：解：（1）在圓形磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系可以知道半徑為r，
洛侖茲力提供向心力qv₀B=

mv 2 0

r

得B′=

mv0

qr

（2）根據(jù)題意粒子恰好不能從O₃射出的條件為

1

2

m

v

2 0

=qU_ab①
導(dǎo)體棒ab做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)平衡條件得
Mgsinθ=BIL=

BLUab

R

解得M=

BL mv 2 0 2gqRsinθ

           
（3）導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度大小為v_m，則U_ab=BLv_m
代入①中得：v_m=

mv 2 0

2qBL

       
安培力做功量度其他形式的能量轉(zhuǎn)化為電能的多少，棒下落h的整個(gè)過程中導(dǎo)體棒ab重力勢(shì)能減小，轉(zhuǎn)化成動(dòng)能和電能．      
由能量守恒得：W_克安=Mghsinθ-

1

2

M

v

2 m

   
解得W_克安=

BLm hv 2 0 sinθ

2qR

-

m3v 6 0

16gBLRq3

答：（1）圓形磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度是

mv0

qr

．
（2）導(dǎo)體棒的質(zhì)量是

BL mv 2 0 2gqRsinθ

．
（3）棒下落h的整個(gè)過程中，導(dǎo)體棒ab克服安培力做的功為

BLm hv 2 0 sinθ

2qR

-

m3v 6 0

16gBLRq3

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查了磁場(chǎng)、電路、電磁感應(yīng)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵在于清楚的分析粒子的運(yùn)動(dòng)過程和導(dǎo)體棒ab所處的狀態(tài)．
對(duì)于應(yīng)用能量守恒解題時(shí)要清楚知道各種形式的能量轉(zhuǎn)化的方向．