Question

18．如圖所示，質(zhì)量分別為m、2m的物體a、b通過輕繩相連跨過不計(jì)摩擦的定滑輪，均處于靜止?fàn)顟B(tài)．a(chǎn)與水平面上固定的勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，Q點(diǎn)有一擋板，若有物體與其垂直相撞會(huì)以原速率彈回，現(xiàn)剪斷a、b之間的繩子，a開始上下往復(fù)運(yùn)動(dòng)，b下落至P點(diǎn)時(shí)會(huì)以原速率變?yōu)樗�平向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)b靜止時(shí)，a恰好首次到達(dá)最低點(diǎn)，已知PQ長s₀，重力加速度為g，b距P點(diǎn)高h(yuǎn)，且包括落在P點(diǎn)這次，b經(jīng)過P點(diǎn)的總次數(shù)不超過2次，b滑動(dòng)時(shí)的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，a、b均可看做質(zhì)點(diǎn)，彈簧在彈性限度范圍內(nèi)，試求：
（l）物體a的最大速度；
（2）物體b停止的位置與P點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)彈簧彈力與a的重力相等時(shí)a的速度最大，由機(jī)械能守恒定律可以求出最大速度．
（2）由動(dòng)能定理求出b在水平面上的路程，注意分別對(duì)b未到達(dá)擋板Q就在PQ上停止和b與擋板Q有一次碰撞后，在PQ上停止整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行分析，通過計(jì)論求解．

解答 解：（1）a和彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)是指方向的彈簧振子，剪斷繩子前，彈簧處于伸長狀態(tài)，形變（伸長）量為△x₁，繩子對(duì)a沿繩向上的拉力大小等于b的重力，即 T=2mg
對(duì)a受力分析得：T-mg-k△x₁=0
解得形變量 $△{x_1}=\frac{mg}{k}$
剛剪斷繩子后，彈簧對(duì)a的彈力向下，a向下運(yùn)動(dòng)，彈力不斷減小，根據(jù)牛頓第二定律mg+F_彈=ma知a的加速度不斷減�。划�(dāng)彈簧恢復(fù)原長后，再向下運(yùn)動(dòng)，彈簧被壓縮，彈力向上并不斷增大，根據(jù)牛頓第二定律mg-F_彈=ma，可知a的加速度不斷減�。�綜上可知，當(dāng)a的加速度減小到零時(shí)，速度最大．此時(shí)彈簧處于壓縮狀態(tài)，形變（壓縮）量為△x₂，有mg-k△x₂=0，解得形變量        $△{x_2}=\frac{mg}{k}$
由上可知，剪斷繩子時(shí)和a有最大速度時(shí)彈簧的形變量相等，即這兩個(gè)狀態(tài)彈性勢能相等，此過程中a和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，重力勢能減少，動(dòng)能增加，彈性勢能不變，故有△E_P=△E_K
即 $mg（△{x_1}+△{x_2}）=\frac{1}{2}mv_m^2$，
解得最大速度       ${v_m}=2g\sqrt{\frac{m}{k}}$
（2）剪短繩子后，b做自由落體運(yùn)動(dòng)，落至水平地面后先向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，碰擋板后以碰前速率彈回，繼續(xù)做勻減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)其在水平面上滑行的路成為s，根據(jù)動(dòng)能定理：mgh-μmgs=0
解得 $s=\frac{h}{μ}$．                              
①若b未碰擋板就已經(jīng)靜止，則b的位置與P點(diǎn)的距離 $d=s=\frac{h}{μ}$；   
②若b碰擋板后彈回停在P的右側(cè)，則b的位置與P點(diǎn)的距離 $d=2{s_0}-s=2{s_0}-\frac{h}{μ}$
③若b碰擋板后彈回停在P的左側(cè)，則b的位置與P點(diǎn)的距離 $d=s-2{s_0}=\frac{h}{μ}-2{s_0}$
答：
（l）物體a的最大速度是2g$\sqrt{\frac{m}{k}}$；
（2）①若b未碰擋板就已經(jīng)靜止，則b的位置與P點(diǎn)的距離是$\frac{h}{μ}$；②若b碰擋板后彈回停在P的右側(cè)，則b的位置與P點(diǎn)的距離2s₀-$\frac{h}{μ}$；③若b碰擋板后彈回停在P的左側(cè)，則b的位置與P點(diǎn)的距離是$\frac{h}{μ}$-2s₀．

點(diǎn)評(píng) 本題要分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過程，明確速度最大的條件：合力等于零，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律、動(dòng)能定理即可正確解題；特別對(duì)第2問要注意全面分析，討論求解．