Question

6．如圖甲所示，單匝圓形線圈c與右側(cè)電路連接，在c中邊長為d=2m的正方形區(qū)域內(nèi)存在垂直線圈平面向上的勻強(qiáng)磁場，磁感強(qiáng)度B隨時間t變化如圖乙所示，電阻R₂兩端與平行光滑金屬直導(dǎo)軌p₁e₁f₁、p₂e₂f₂連接．垂直于導(dǎo)軌平面向下、向上有矩形勻強(qiáng)磁場區(qū)域I、Ⅱ，它們的邊界為e₁e₂，區(qū)域I中垂直導(dǎo)軌并緊靠e₁e₂平放一導(dǎo)體棒ab，兩直導(dǎo)軌分別與同一豎直平面內(nèi)的圓形光滑絕緣導(dǎo)軌O₁、O₂相切連接，在切點f₁、f₂處開有小口可讓ab進(jìn)入，進(jìn)入后小口立即閉合．已知：O₁、O₂的直徑和直導(dǎo)軌間距均為d=0.2m，電阻R₁、R₂的阻值均為R=2Ω，其余電阻不計；直導(dǎo)軌足夠長且其平面與水平面夾角為60°，區(qū)域I的磁感強(qiáng)度為B₀=2T，重力加速度為g=l0m/s²．a(chǎn)b在0-0.2s內(nèi)保持靜止．
（1）求ab靜止時通過它的電流大小和方向？
（2）設(shè)ab進(jìn)入圓軌道后能達(dá)到離f₁f₂的最大高度為h，要使ab不脫離圓形軌道運(yùn)動，求區(qū)域Ⅱ的磁感強(qiáng)度B₂的取值范圍并討論h與B₂的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）ab靜止時，由法拉第電磁感應(yīng)定律求出c內(nèi)感生電動勢的大小，由歐姆定律求出電流的大小，由楞次定律判斷電流的方向．
（2）ab靜止時受力平衡，重力沿導(dǎo)軌向下的分力與安培力二力平衡，由平衡條件列式可求ab的質(zhì)量．
由題意知c內(nèi)的磁感強(qiáng)度減為零，ab滑入?yún)^(qū)域Ⅱ磁場，由于此段足夠長，ab最終應(yīng)做勻速直線運(yùn)動，由平衡條件可求出其勻速運(yùn)動的速度表達(dá)式．要使ab不脫離圓形軌道運(yùn)動，有兩種情況：ab滑不過圓心等高點或者滑過圓軌道最高，根據(jù)機(jī)械能守恒定律和圓周運(yùn)動最高點的臨界條件結(jié)合解答．

解答 解：
（1）由法拉第電磁感應(yīng)定律，得c內(nèi)感生電動勢：E=$\frac{△B}{△t}$S=0.4V
由閉合電路歐姆定律，得：E=IR；
解得：I=0.2A
導(dǎo)體棒ab中電流方向為a→b；
（2）設(shè)導(dǎo)軌平面與水平面夾角為θ=60°，
在0-0.2s內(nèi)，導(dǎo)體棒ab靜止，則有：mgsinθ=B₀Id；
t=2s后，c內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度減小零，ab滑入?yún)^(qū)域II，
由直導(dǎo)軌足夠長，可知，ab進(jìn)入圓形軌道時已達(dá)到勻速直線運(yùn)動，
設(shè)此時導(dǎo)體棒ab的速度為v，其電動勢為E₂，電流為I₂，
由平衡條件，則有：mgsinθ=B₂I₂d；
由法拉第電磁感應(yīng)定律，得動生感生電動勢，E₂=B₂dv；
根據(jù)閉合電路歐姆定律，得：E₂=I₂$\frac{R}{2}$
解得：v=$\frac{2}{{B}_{2}^{2}}$；
由題意可知，ab滑不過圓心等高點或者滑過圓軌道最高點均符合題意，
分類討論如下：
①由$\frac{1}{2}m{v}^{2}≤mg\fraclxzz5p1{2}cosθ$
解得：B₂≥$\sqrt{2}$T
ab上滑過程中，由動能定理，得：mgh=$\frac{1}{2}$mv²
解得：h=$\frac{0.2}{{B}_{2}^{4}}$m
②設(shè)ab能滑到圓軌道最高點時，速度為v₁，應(yīng)滿足：mg≤$\frac{2m{v}_{1}^{2}}ffpxj7n$
由$\frac{1}{2}m{v}^{2}-mg\fracxd19dph{2}（1+cosθ）≥\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$，解得：B₂≤1T
ab能滑到圓軌道最高點，則有：h=$\fracwlppy4f{2}（1+cosθ）$=0.15m；
答：（1）則ab靜止時通過它的電流大小0.2A和方向a→b；
（2）區(qū)域Ⅱ的磁感強(qiáng)度B₂的取值范圍B₂≤1T或B₂≥$\sqrt{2}$T，且h與B₂的關(guān)系式h=$\frac{0.2}{{B}_{2}^{4}}$m．

點評 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)、電路等等知識的綜合，與力學(xué)聯(lián)系的橋梁是安培力，對于感生情況，要熟練根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律結(jié)合求感應(yīng)電流．導(dǎo)體在圓軌道上運(yùn)動時，要準(zhǔn)確把握最高點的臨界條件，運(yùn)用機(jī)械能守恒與向心力結(jié)合解答．