Question

9．如圖所示，光滑半圓形軌道處于豎直平面內(nèi)，半圓形軌道與光滑的水平地面相切于半圓的端點(diǎn)A，已知軌道半徑為R，一質(zhì)量為m的小球在水平地面上C點(diǎn)受水平向左大小為F=$\frac{3}{4}$mg的恒力由靜止開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)撤去恒力F，小球沿豎直半圓形軌道運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)B點(diǎn)，重力加速度為g．
（1）若小球恰能運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)B，求A、C間的距離L；
（2）若小球運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)未撤去恒力F，當(dāng)A、C間的距離L=5R時(shí)，求小球沿豎直半圓形軌道運(yùn)動(dòng)中的最大動(dòng)能E_km及此時(shí)對(duì)軌道的壓力．

Answer 1

分析 （1）對(duì)小球在B點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律求得速度，然后對(duì)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理即可求解；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求得動(dòng)能表達(dá)式，然后求解最大動(dòng)能及其位置，再對(duì)小球在該點(diǎn)徑向方向應(yīng)用牛頓第二定律求得支持力，然后由牛頓第三定律求得壓力．

解答 解：（1）若小球恰能運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)B，那么對(duì)小球在B點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律可得：$mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
又有小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程只有F和重力做功，故由動(dòng)能定理可得：$FL-2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}mgR$，所以，$L=\frac{\frac{1}{2}mgR+2mgR}{\frac{3}{4}mg}=\frac{10}{3}R$；
（2）小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程只有F和重力做功，那么由動(dòng)能定理可知：在同一水平位置，F(xiàn)做功不變；高度越低，克服重力做的功越少，動(dòng)能越大；故動(dòng)能最大處必在圓心下方的$\frac{1}{4}$圓弧上；
設(shè)動(dòng)能最大處的半徑與豎直方向夾角為θ，那么，由動(dòng)能定理可得：E_km=F（L+Rsinθ）-mgR（1-cosθ）=$mgR（\frac{15}{4}+\frac{3}{4}sinθ-1+cosθ）$=$mgR[\frac{11}{4}+\frac{5}{4}sin（θ+53°）]$；
當(dāng)θ=37°時(shí)，動(dòng)能最大，E_km=4mgR；那么，小球動(dòng)能最大時(shí)的速度${v}_{m}=\sqrt{\frac{2{E}_{km}}{m}}=\sqrt{8gR}$；
對(duì)小球在徑向方向應(yīng)用牛頓第二定律可得：${F}_{N}-mgcos37°-Fsin37°=\frac{m{{v}_{m}}^{2}}{R}=8mg$，
所以，小球受到軌道的支持力${F}_{N}=8mg+mgcos37°+\frac{3}{4}mgsin37°=9.25mg$，方向沿徑向方向，即與豎直方向成37°，斜向右上方；
那么，由牛頓第三定律可得：小球?qū)�軌道的壓力�?.25mg，方向與豎直方向成37°，斜向左下方；
答：（1）若小球恰能運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)B，則A、C間的距離L為$\frac{10}{3}R$；
（2）若小球運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)未撤去恒力F，當(dāng)A、C間的距離L=5R時(shí)，那么小球沿豎直半圓形軌道運(yùn)動(dòng)中的最大動(dòng)能E_km為4mgR；此時(shí)對(duì)軌道的壓力為9.25mg，方向與豎直方向成37°，斜向左下方．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．