Question

18．如圖所示，光滑水平面上有一小車B，右端固定一沙箱，沙箱上連接一水平的輕質(zhì)彈簧，小車與沙箱的總質(zhì)量為M=2kg．車上在與沙箱左側(cè)距離S=1m的位置上放一質(zhì)量為m=1kg小物塊A，物塊A與小車的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.1．僅在沙面上方空間存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)E=2×10³V/m．當(dāng)物塊A隨小車以速度v₀=10m/s向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，距沙面H=5m高處有一質(zhì)量為m₀=2kg的帶正電q=1×10^-2C的小球C，以u(píng)₀=10m/s的初速度水平向左拋出，最終落入沙箱中．已知小球與沙箱的相互作用時(shí)間極短，且忽略彈簧最短時(shí)的長(zhǎng)度，并取g=10m/s²．求：

（1）小球落入沙箱前的速度u和開始下落時(shí)與小車右端的水平距離x；
（2）小車在前進(jìn)過(guò)程中，彈簧具有的最大值彈性勢(shì)能EP；
（3）設(shè)小車左端與沙箱左側(cè)的距離為L(zhǎng)，請(qǐng)討論分析物塊A相對(duì)小車向左運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，其與小車摩擦產(chǎn)生的熱量Q與L的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）小球C在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)過(guò)程，受到重力和電場(chǎng)力作用，兩個(gè)力均為恒力，可采用運(yùn)動(dòng)的分解法研究：豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和位移公式結(jié)合求解．
（2）小球落入沙箱的過(guò)程，系統(tǒng)水平動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律求出小球落入沙箱后的共同速度．之后，由于車速減小，物塊相對(duì)車向右運(yùn)動(dòng)，并壓縮彈簧，當(dāng)A與小車速度相同時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能最大．根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律結(jié)合求解．
（3）由功能關(guān)系求熱量Q與L的關(guān)系式．要分物塊是否從小車上滑下兩種情況研究．

解答 解：（1）設(shè)小球C下落到沙箱的時(shí)間為t，則豎直方向上有 H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
小球在水平方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，則 qE=m₀a_x．
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有 u_x=u₀-a_xt
代入數(shù)據(jù)解得  a_x=10m/s²，u_x=0，t=1s
所以小球落入沙箱前的速度 u=u_y=gt=10m/s，方向豎直向下．
小球開始下落時(shí)與小車右端的水平距離 x=x₁+x₂=v₀t+$\frac{{u}_{0}t}{2}$
解得 x=15m
（2）取向右為正方向，在小球落入沙箱的過(guò)程中，小車（不含物塊A）和小球的系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，設(shè)小球落入沙箱瞬間，車與球的共同速度為v₁．
有 Mv₀=（M+m₀）v₁．
解得 v₁=5m/s
     由于車速減小，隨后物塊A相對(duì)小車向右運(yùn)動(dòng)并將彈簧壓縮，在此過(guò)程中，A與小車（含小球）的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，當(dāng)彈簧壓縮至最短時(shí)整個(gè)系統(tǒng)有一共同速度v₂．
根據(jù)動(dòng)量守恒定律得 mv₀+（M+m₀）v₁=（M+m+m₀）v₂．
解得 v₂=6m/s
根據(jù)能量轉(zhuǎn)化和守恒定律得：
最大值彈性勢(shì)能 E_P=$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{1}{2}$（M+m₀）v₁²-$\frac{1}{2}$（M+m+m₀）v₂²-μmgS
代入數(shù)據(jù)解得 E_P=9J
（3）隨后彈簧向左彈開物塊A，假設(shè)A運(yùn)動(dòng)至車的左端時(shí)恰好與車相對(duì)靜止，此過(guò)程中系統(tǒng)動(dòng)量仍守恒，所以系統(tǒng)具有的速度仍為 v₂=6m/s
根據(jù)功能關(guān)系有 E_P=μmgL₀；
解得小車左端與沙箱左側(cè)的距離為 L₀=9m
分情況討論如下：
   ①若L≥L₀=9m，物塊A停在距離沙箱左側(cè)L₀=9m處與小車一起運(yùn)動(dòng)，因此摩擦產(chǎn)生的熱量為
    Q₁=μmgL₀；
解得 Q₁=9J
   ②若L＜L₀=9m，物塊A最終會(huì)從沙箱左側(cè)滑下，因此摩擦產(chǎn)生的熱量為
    Q₂=μmgL；
答：
（1）小球落入沙箱前的速度u為10m/s，方向豎直向下．開始下落時(shí)與小車右端的水平距離x是15m；
（2）小車在前進(jìn)過(guò)程中，彈簧具有的最大值彈性勢(shì)能是9J；
（3）①若L≥L₀=9m，摩擦產(chǎn)生的熱量為9J．若L＜L₀=9m，物塊A最終會(huì)從沙箱左側(cè)滑下，摩擦產(chǎn)生的熱量為   Q₂=μmgL．

點(diǎn)評(píng) 解決該題關(guān)鍵要正確分析小球的運(yùn)動(dòng)情況，掌握動(dòng)量守恒和能量守恒列出等式求解，注意小球掉小車的過(guò)程中是小球與車水平方向的動(dòng)量守恒．