Question

11．如圖所示，回旋加速器D形盒的半徑為R，用來加速質(zhì)量為m、電量為q的質(zhì)子，使質(zhì)子由靜止加速到能量為E后，由A孔射出．求：
（1）加速器中勻強(qiáng)磁場B的方向和大小；
（2）設(shè)兩D形盒間距離為d，其間電壓為U，電場視為勻強(qiáng)電場，質(zhì)子每次經(jīng)電場加速后能量增量，加速到上述能量所需回旋周數(shù)是多少；
（3）加速到上述能量所需時間為多少．

Answer 1

分析 （1、2）勻強(qiáng)磁場B的方向根據(jù)左手定則判斷確定．回旋加速器中粒子在磁場中運(yùn)動的周期和高頻交流電的周期相等，當(dāng)粒子從D形盒中出來時，速度最大，此時粒子運(yùn)動的軌跡半徑等于D形盒的半徑；根據(jù)洛倫茲力提供向心力，求出最大動能．質(zhì)子在一個周期內(nèi)被加速兩次，根據(jù)一次加速的能量與最大動量的關(guān)系，即可確定加速次數(shù)，從而得到回旋周數(shù)．
（3）加速到上述能量所需時間由兩部分組成：一部分是磁場中運(yùn)動時間，根據(jù)周期和圈數(shù)結(jié)合求解；另一部分是電場中運(yùn)動，根據(jù)位移時間公式求解．

解答 解：（1）根據(jù)左手定則可知B的方向垂直于紙面向里．
根據(jù)qv_mB=m$\frac{{v}_{m}^{2}}{R}$，得最大動能E=$\frac{1}{2}$mv_m²=$\frac{{B}^{2}{R}^{2}{q}^{2}}{2m}$
因此加速器中勻強(qiáng)磁場B的大�。築=$\frac{\sqrt{2mE}}{qR}$；
（2）加速電壓為U，則質(zhì)子每次經(jīng)電場加速后能量為E_K0=qU；
設(shè)共加速N次，則有：N=$\frac{E}{{E}_{k0}}$=$\frac{E}{qU}$；
由于每周加速兩次，所以加速到上述能量所需回旋周數(shù)是 n=$\frac{N}{2}$=$\frac{E}{2qU}$
（3）根據(jù)T=$\frac{2πm}{qB}$，結(jié)合磁場B的大小，則有：T=πR$\sqrt{\frac{2m}{E}}$
質(zhì)子在一個周期內(nèi)，被加速兩次，則在磁場中運(yùn)動的時間為 t=nT=$\frac{E}{2qU}$•πR$\sqrt{\frac{2m}{E}}$=$\frac{πR}{qU}$$\sqrt{\frac{mE}{2}}$
質(zhì)子在電場中運(yùn)動的加速度大小為 a=$\frac{qU}{md}$
將電場中的運(yùn)動看成一種總位移為x=Nd的勻加速直線運(yùn)動，設(shè)電場中運(yùn)動的總時間為t′，則
  Nd=$\frac{1}{2}at{′}^{2}$
解得 t′=$\fracl1nndmo{qU}$$\sqrt{2mE}$
故加速到上述能量所需時間為 t_總=t+t′=$\frac{πR}{qU}$$\sqrt{\frac{mE}{2}}$+$\fracr6ggef7{qU}$$\sqrt{2mE}$=（$\frac{πR+2d}{2qU}$）$\sqrt{2mE}$
答：
（1）加速器中勻強(qiáng)磁場B方向B的方向垂直于紙面向里，大小為$\frac{\sqrt{2mE}}{qR}$．
（2）加速到上述能量所需回旋周數(shù)是$\frac{E}{2qU}$．
（3）加速到上述能量所需時間為（$\frac{πR+2d}{2qU}$）$\sqrt{2mE}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道當(dāng)粒子從D形盒中出來時，速度最大．以及知道回旋加速器粒子在磁場中運(yùn)動的周期和高頻交流電的周期相等．