Question

20．字宙中有很多獨立的雙星系統(tǒng)．如圖為某一雙星系統(tǒng)，兩星A、B均可視為質點．A、B圍繞它們連線的中點O做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，引力常量為G．
（1）雙星之間的引力F可等效為位于0點處質量為M的星體（可視為質點）對它們的引力，試求雙星的總質量與M的比值．
（2）若只考慮雙星之間的引力，得到A星運行速率v與運行周期T，求A星的質量．
（3）實際觀察A星運行速率v′比v大很多，設v′=kv，科學家猜想造成這一現(xiàn)象的原因是在以0點為球心的很小半徑的空間存在一個質量巨大、密度巨大的看不見的物體即黑洞，正是這個黑洞對雙星的強大引力造成的，當黑洞的質量比A星的質量大10⁸倍或以上時，就可認為這一猜想成立，試說明觀測到k值為多少時，這一猜想成立．

Answer 1

分析 （1）根據萬有引力定律和引力相等的條件列式，即可求解．
（2）A星的向心力由B對它的萬有引力提供，由此列式求解．
（3）若認為這一猜想成立，雙星由相互的萬有引力和黑洞的萬有引力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律和向心力公式求解．

解答 解：（1）設A、B的質量均為m．A、B間的距離為L．
據題有：G$\frac{{m}^{2}}{{L}^{2}}$=G$\frac{Mm}{（0.5L）^{2}}$
得 m=4M
故雙星的總質量與M的比值為 2m：M=8
（2）若只考慮雙星之間的引力，則：
對A星有：G$\frac{{m}^{2}}{{L}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{\frac{1}{2}L}$
又v=$\frac{2π•\frac{1}{2}L}{T}$
聯(lián)立解得：m=$\frac{2{v}^{3}T}{πG}$
（3）若認為這一猜想成立，則對A星有：
  G$\frac{{m}^{2}}{{L}^{2}}$+G$\frac{1{0}^{8}m•m}{（\frac{1}{2}L）^{2}}$=m$\frac{（kv）^{2}}{\frac{1}{2}L}$
解得：k≈2×10⁴
答：（1）雙星的總質量與M的比值是8．
（2）A星的質量為$\frac{2{v}^{3}T}{πG}$．
（3）觀測到k值為2×10⁴時，這一猜想成立．

點評 解決本題的關鍵抓住恒星的角速度相等，分析向心力的來源，結合萬有引力和向心力公式進行求解．