Question

（2008?福建模擬）滑板運動是一項陸地上的“沖浪運動”滑板運動員可在不同的滑坡上滑行，做出各種動作，給人以美的享受．如圖甲所示，abcdef為同一豎直平面上依次平滑連接的滑行軌道，其中ab段水平，H=3m，bc段和cd段均為斜直軌道，傾角θ=37⁰，de段是一半徑R=2.5m的四分之一圓弧軌道，0點為圓心，其正上方的d點為圓弧的最高點．滑板及運動員的總質(zhì)量m=60kg，運動員滑經(jīng)d點時軌道對滑板支持力用Nd表示．忽略摩擦阻力和空氣阻力，取g=10m/s2，sin 37°=0.6，eos 37°=0.8．除下述問題（3）中運動員做緩沖動作以外，均可把滑板及運動員視為質(zhì)點．
（1）若運動員從bc 段緊靠b處無初速度滑下，求N_d的大小．
（2）運動員逐漸減小從bc上無初速度下滑時距水平地面的高度h，請在圖乙的坐標(biāo)系中作出N_d-h圖象（只根據(jù)作出的圖象評分，不要求寫出計算過程和作圖依據(jù)）．
（3）運動員改為從b點以v₀=4m/s的速度水平滑出，落在bc上時通過短暫的緩沖動作使他沿斜面方向繼續(xù)滑行，則他是否會從d點滑離軌道？請通過計算得出結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）運動員從開始滑下至滑到d點，由機械能守恒定律求出d點速度，根據(jù)牛頓第二定律求出軌道對滑板支持力．
（2）根據(jù)N_d-h的關(guān)系式作圖．
（3）運動員離開b點做平拋運動，落在斜面上時，豎直方向上的位移和水平方向上的位移的比值等于tanθ，根據(jù)這一關(guān)系求出運動的時間，從而求出落在斜面上時在豎直方向上的分速度．落在bc上時通過短暫的緩沖動作使他只保留沿斜面方向的速度繼續(xù)滑行，對落地點的速度沿垂直斜面方向和沿斜面方向正交分解，求出沿斜面方向的分速度，即為沿斜面滑行的速度，然后根據(jù)動能定理求出d點的速度，與d點的臨界速度進行比較，判斷是否會從d點滑離軌道．

解答：解：（1）運動員從開始滑下至滑到d點，由機械能守恒定律得：
mg（H-R）=

1

2

mv²
在d點，根據(jù)牛頓第二定律得：
mg-N_d=

mv2

R

解得：N_d=mg（1-

2(H-R)

R

）=360N
（2）根據(jù)N_d=mg（1-

2(H-R)

R

）作出N_d-h圖象如圖甲所示．
（3）當(dāng)以v₀=4m/s的速度從b點水平滑出時，運動員做平拋落在Q點，如圖乙所示，
設(shè)bQ=x，則有
xsin37°=

1

2

gt²
xcos37°=v₀t
解得：t=0.6 S
v_y=gt=6m/s
在Q點緩沖后，在Q的速度
從Q→d根據(jù)機械靜守恒定律，有：
mg（H-

1

2

gt²）-mgR=

1

2

mv_d²-

1

2

mv_Q²
運動員恰從d點滑離軌道應(yīng)滿足mg=m

v′ 2 d

2

解得：

v′

2 d

-

v

2 d

=4.76 即 v_d＜v_d′
可見滑板運動員不會從圓弧最高點d滑離軌道．
答：（1）若運動員從bc 段緊靠b處無初速度滑下，N_d的大小是360N．
（2）如上圖
（3）滑板運動員不會從圓弧最高點d滑離軌道．

點評：解決本題的關(guān)鍵知道平拋運動落在斜面上，豎直方向上的位移和水平方向上的位移的比值是定值，根據(jù)該關(guān)系可求出時間．以及在外軌道做圓周運動，最高點有最大速度，此時正壓力為0，有mg=m

v′ 2 d

2

．