Question

（2009?鹽城模擬）一個半徑R為0.6m的光滑半圓細環(huán)豎直放置并固定在水平桌面上，O為圓心，A為半圓環(huán)左邊最低點，C為半圓環(huán)最高點．環(huán)上套有一個質量為1kg的小球甲，甲可以沿著細環(huán)軌道在豎直平面內做圓周運動．在水平桌面上方固定了B、D兩個定滑輪，定滑輪的大小不計，與半圓環(huán)在同一豎直平面內，它們距離桌面的高度均為h=0.8m，滑輪B恰好在O點的正上方．現通過兩個定滑輪用一根不可以伸長的細線將小球甲與一個質量為2kg的物體乙連在一起．一開始，用手托住物體乙，使小球甲處于A點，細線伸直，當乙由靜止釋放后．
（1）甲運動到C點時的速度大小是多少？
（2）甲、乙速度相等時，甲距離水平桌面的高度是多少？
（3）甲、乙速度相等時，它們的速度大小是多少？（結果可以用根式表示）

Answer 1

分析：（1）甲運動到C點時，乙的速度為零，對系統(tǒng)運用動能定理求出甲運動到C點時的速度大小．
（2）當連接甲球的細線與圓環(huán)相切時，甲、乙速度相等，根據幾何關系求解甲距離水平桌面的高度，對系統(tǒng)運用動能定理或機械能守恒定律求出甲、乙速度相等時的速度大小．

解答：解：（1）根據幾何關系得：LAB=

h2+R2

=

0.82+0.62

m=1m
甲運動到C點時，甲的速度方向水平向右，所以乙的速度為零，對系統(tǒng)運用動能定理得：
 m乙g(LAB-LBC)-m甲gR=

1

2

m甲

v

2 甲

解得：v甲=

2[2×10(1-0.2)-1×10×0.6] 1

m/s=4.47m/s
（2）當連接甲球的細線與圓環(huán)相切時，甲、乙速度相等，此時甲球到達A'點，離開桌面的距離為d
根據幾何關系得：LBA′=

h2-R2

=

0.82-0.62

m=0.53m
 解得：d=

R2

h

=

0.62

0.8

m=0.45md=

R2

h

=

0.62

0.8

m=0.45m
（3）由機械能守恒可得   m乙g(LAB-LBA′)-m甲gd=

1

2

(m甲+m乙)

v

2 甲

解得：v甲=

2[m乙g(LAB-LBA′)-m甲gd] m甲+m乙

=

2[2×10(1-0.53)-1×10×0.45] 1+2

m/s=1.81m/s  
答：（1）甲運動到C點時的速度大小是4.47m/s；
（2）甲、乙速度相等時，甲距離水平桌面的高度是0.45m；
（3）甲、乙速度相等時，它們的速度大小是1.81m/s．

點評：本題以系統(tǒng)為研究對象，運用動能定理，注意甲運動到C點時，乙的速度為零，當連接甲球的細線與圓環(huán)相切時，甲、乙速度相等．