Question

11．如圖所示，真空玻璃管內(nèi)，加熱的陰極K發(fā)出的電子（初速度可忽略不計(jì)）經(jīng)陽(yáng)極A與陰極K之間的電壓形成的加速電場(chǎng)加速后，從陽(yáng)極A小孔射出，由水平放置的平行正對(duì)偏轉(zhuǎn)極板M、N的左端中點(diǎn)以平行于極板的方向射入兩極板之間的區(qū)域．若M、N兩極板間無(wú)電壓，電子將沿水平直線打在熒光屏上的O點(diǎn)；若在兩偏轉(zhuǎn)極板間加電壓U₂，形成平行紙面方向的偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，則電子將打在熒光屏上的P點(diǎn)；若再在極板間加方向與紙面垂直、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，則電子將能重新打在熒光屏上的O點(diǎn)．已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，M、N兩偏轉(zhuǎn)極板長(zhǎng)均為L(zhǎng)₁、兩板間距離為d，偏轉(zhuǎn)極板右端到熒光屏的距離為L(zhǎng)₂．
（1）求陽(yáng)極A與陰極K之間所加的加速電壓U₁的大小；
（2）求熒光屏上的P點(diǎn)與O點(diǎn)間沿垂直偏轉(zhuǎn)極板方向的距離；
（3）示波器中的示波管與圖所示的裝置類似，在示波器中用電子打在熒光屏上的位置P點(diǎn)與熒光屏中心O點(diǎn)沿垂直偏轉(zhuǎn)極板方向的距離，跟此時(shí)偏轉(zhuǎn)極板間所加電壓U₂的比值，表示示波器的靈敏度，試討論陽(yáng)極A與陰極K之間所加的加速電壓U₁對(duì)靈敏度的影響．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)再在極板間加方向與紙面垂直、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電子將能重新打在熒光屏上的O點(diǎn)，知電子在電磁場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力等于電場(chǎng)力，由此列式求得電子的速度．再研究加速過(guò)程，由動(dòng)能定理求加速電壓U₁的大小；
（2）電子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)極板間時(shí)做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求得加速度，再由分位移公式求P點(diǎn)與O點(diǎn)間沿垂直偏轉(zhuǎn)極板方向的距離；
（3）根據(jù)靈敏度的概念，列出表達(dá)式，再分析陽(yáng)極A與陰極K之間所加的加速電壓U₁對(duì)靈敏度的影響．

解答 解：（1）當(dāng)在極板間加方向與紙面垂直、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，電子在電磁場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力等于電場(chǎng)力，則有：
evB=e$\frac{{U}_{2}}tvf1drt$
電子在加速電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
eU₁=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
可得：v=$\frac{{U}_{2}}{Bd}$，U₁=$\frac{mU_2^2}{{2e{d^2}{B^2}}}$；
（2）設(shè)電子離開偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)沿垂直偏轉(zhuǎn)極板方向偏轉(zhuǎn)的距離為y，P點(diǎn)與O點(diǎn)間沿垂直偏轉(zhuǎn)極板方向的距離為Y．
電子在偏轉(zhuǎn)極板間做類平拋運(yùn)動(dòng)，則加速度為：
a=$\frac{e{U}_{2}}{md}$
由分位移公式有：
y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，L₁=vt
電子離開偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由三角形相似法得：
$\frac{y}{Y}$=$\frac{\frac{1}{2}{L}_{1}}{\frac{1}{2}{L}_{1}+{L}_{2}}$
聯(lián)立解得：Y=$\frac{{{L_1}ed{B^2}}}{{m{U_2}}}（{L_2}+\frac{L_1}{2}）$；
（3）上題中 v=$\sqrt{\frac{2e{U}_{1}}{m}}$，由a=$\frac{e{U}_{2}}{md}$，y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，L₁=vt得：y=$\frac{{U}_{2}{L}_{1}^{2}}{4{U}_{1}d}$
可得：Y=$\frac{{L}_{1}+2{L}_{2}}{{L}_{1}}$•$\frac{{U}_{2}{L}_{1}^{2}}{4{U}_{1}d}$
由題得：$\frac{Y}{{U}_{2}}$=$\frac{{L}_{1}+2{L}_{2}}{{L}_{1}}$•$\frac{{L}_{1}^{2}}{4{U}_{1}d}$
所以靈敏度與U₁成反比
答：（1）陽(yáng)極A與陰極K之間所加的加速電壓U₁的大小為$\frac{mU_2^2}{{2e{d^2}{B^2}}}$；
（2）熒光屏上的P點(diǎn)與O點(diǎn)間沿垂直偏轉(zhuǎn)極板方向的距離為$\frac{{{L_1}ed{B^2}}}{{m{U_2}}}（{L_2}+\frac{L_1}{2}）$；
（3）靈敏度與U₁成反比．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵是要掌握類平拋運(yùn)動(dòng)的處理方法：將類平拋運(yùn)動(dòng)分解成兩個(gè)相互垂直的直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律和幾何關(guān)系進(jìn)行研究．