Question

4．如圖為幼兒園供兒童娛樂的滑梯示意圖，其中AB為斜面滑槽，與水平方向的夾角為37°；BC為水平滑槽，與半徑為0.2m的四分之一圓弧CE相切．DE為地面，已知兒童在滑槽上滑動(dòng)時(shí)的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5，在B點(diǎn)由斜面轉(zhuǎn)到水平面的運(yùn)動(dòng)速率不變，A點(diǎn)離地面的豎直高度AD=2.6m，g=10m/s²，求：

（1）兒童從A處由靜止起滑到B處所用的時(shí)間；
（2）為了讓兒童在娛樂時(shí)不會(huì)從C處平拋射出，水平滑槽BC的長度至少為多少？
（3）若兒童在娛樂時(shí)能從C處平拋滑出，則落地點(diǎn)離E點(diǎn)至少有多遠(yuǎn)？

Answer 1

分析 （1）AB為光滑斜面滑槽，兒童由A處靜止起滑到B處的過程中，機(jī)械能守恒，據(jù)此列式求解．
（2）要使兒童不會(huì)做平拋，則在C點(diǎn)兒童應(yīng)做圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)重力恰好充當(dāng)向心力；由向心力公式可得出速度，由動(dòng)能定理可求得水平滑槽BC的長度．
（3）根據(jù)臨界條件可求得小孩被拋出時(shí)的速度，再由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可求得小孩距E點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）兒童在斜面AB上運(yùn)動(dòng)過程中，在沿斜面方向上受到重力沿斜面向下的分力，沿斜面向上的摩擦力，
根據(jù)牛頓第二定律可得mgsinθ-μmgcosθ=ma
在AB上兒童做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，所以有${x_{AB}}=\frac{1}{2}at_1^2$，
聯(lián)立解得t₁=2s
（2）不會(huì)從C點(diǎn)平拋射出，C點(diǎn)可視為圓周運(yùn)動(dòng)；
在C點(diǎn)重力和支持力充當(dāng)向心力，故有$mg-{F_{NC}}=m\frac{v_c^2}{R}$，
因?yàn)镕_NC≥0
從A運(yùn)動(dòng)到B過程中，根據(jù)動(dòng)能定理可得$mg{h_{AB}}-μmgcosθ•{x_{AB}}-μmg{x_{BC}}=\frac{1}{2}mv_c^2-0$，
聯(lián)立解得x_BC≥1.4m
（3）當(dāng)${v_c}≥\sqrt{gR}$時(shí)，能從C處平拋滑出
設(shè)平拋水平位移為s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則水平方向上有s=v_ct，
豎直方向上有$R=\frac{1}{2}g{t^2}$
離E點(diǎn)距離為$△x=s-R=0.2（\sqrt{2}-1）m≈0.83m$
答：（1）（1）兒童從A處由靜止起滑到B處所用的時(shí)間為2s；
（2）為了讓兒童在娛樂時(shí)不會(huì)從C處平拋射出，水平滑槽BC的長度至少為1.4m；
（3）若兒童在娛樂時(shí)能從C處平拋滑出，則落地點(diǎn)離E點(diǎn)至少有0.83m

點(diǎn)評(píng) 本題應(yīng)注意分析題意中的臨界條件，兒童在C點(diǎn)若速度過大則重力不足以提供向心力將會(huì)做平拋運(yùn)動(dòng)，故此時(shí)臨界條件為兒童的重力恰好充當(dāng)向心力．