Question

1．如圖所示，一水平勻速運動的傳送帶，右側通過小圓弧連接兩根直光滑金屬導軌，金屬導軌與水平面成θ=30°角，傳送帶與導軌寬度均為L=1m．沿導軌方向距導軌頂端x₁=0.7m到x₂=2.4m之間存在垂直于導軌平面向上的勻強磁場區(qū)域abcd，ab、cd垂直于平行導軌，磁感應強度B=1T．將質量均為m=0.1kg的導體棒P、Q相隔△t=0.2s分別從傳送帶的左端自由釋放，兩導體棒與傳送帶間的動摩擦因數(shù)均為μ=0.1，兩棒到達傳送帶右端時已與傳送帶共速．導體棒P、Q在導軌上運動時，始終與導軌垂直且接觸良好，P棒進入磁場時剛好做勻速運動，Q棒穿出磁場時速度為$2\sqrt{6}$m/s．導體棒P、Q的電阻均為R=4Ω，導軌電阻不計，g取10m/s²．
（1）求傳送帶的運行速度v₀．
（2）不需要求解過程，請定性畫出導體棒P兩端的電壓U_p隨時間t的變化關系（從進入磁場開始計時）．
（3）求從導體棒P、Q在傳送帶上自由釋放開始到穿出磁場的過程中產生的總內能．

Answer 1

分析 （1）由E=BLv求出感應電動勢、由歐姆定律求出電流、由安培力公式與平衡條件求出導體棒做勻速運動的速度，由動能定理求出傳送帶的速度．
（2）分三段求出電壓隨時間的變化關系，然后作出圖象．
（3）由運動學公式求出導體棒與傳送帶間的相對位移，由能量守恒定律求出導體棒穿出磁場的過程中產生的總內能．

解答 解：（1）導體棒P進入磁場時做勻速運動，設切割磁感線的速度為v，則感應電動勢E=BLv
感應電流 I=$\frac{E}{2R}$
導體棒受到的安培力F_安=BLI=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$
由平衡條件可知 F_安=mgsin θ
解得v=4 m/s     
導體棒P脫離傳送帶時已與傳送帶共速，設傳送帶的速度為v₀，導體棒P沿斜面下滑x₁的過程中，由動能定理得
mgx₁sin θ=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 v₀=3 m/s，即傳送帶的運行速度為3 m/s．
（2）導體棒P勻速進入磁場時，兩端電壓U_P=IR=$\frac{E}{2R}$•R=$\frac{BLv}{2}$
導體棒P、Q都進入磁場共同加速時，U_P′=E=BLv
導體棒P出磁場后，只有導體棒Q切割磁場，做變減速運動，U″_P=$\frac{BLv}{2}$
電壓隨時間的定性變化圖象如圖．
（3）導體棒P、Q在傳送帶上加速過程中產生的內能為Q₁=2μmgs_相對=0.9 J   
導體棒P勻速進入磁場過程中，有x₃=vt
由功能關系得Q₂=mgx₃sin θ=0.4 J    
導體棒P、Q共同在磁場中加速下滑過程中，
x₄=x₂-x₁-x₃=0.9 m
設導體棒P出磁場時速度為u，由運動學規(guī)律得
u²-v²=2ax₄，解得 u=5 m/s
導體棒Q切割磁感線時下滑的距離為 x₅=0.8 m
由功能關系得Q₃=mgx₃sin θ-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+$\frac{1}{2}m{u}^{2}$=0.45 J       
Q=Q₁+Q₂+Q₃=1.75 J．
答：
（1）傳送帶的運行速度v₀為3 m/s．
（2）畫出導體棒P兩端的電壓U_p隨時間t的變化關系如圖所示．　
（3）從導體棒P、Q在傳送帶上自由釋放開始到穿出磁場的過程中產生的總內能為1.75 J．

點評 本題考查了求速度、作U-t圖象、求產生的內能等問題，關鍵要分析清楚導體棒的運動過程，再應用E=BLv、應用歐姆定律、安培力公式、平衡條件、應用能量守恒定律即可正確解題．